Відповідність: математичне поняття ↔ означення або формула (прогресії, ймовірність, тригонометрія, вектори)

📌 Про що ця тема

У завданнях на відповідність тобі дають ліворуч математичні поняття (наприклад, формулу n-го члена прогресії, ймовірність, тригонометричну тотожність, дію з векторами), а праворуч — означення, формули чи числові значення. Треба правильно зʼєднати пари. Помилка тут коштує балів, бо кожна пара оцінюється окремо. Ключове — точно памʼятати базові формули з чотирьох тем: прогресії, ймовірність, тригонометрія, вектори.

📖 Головне

Арифметична прогресія (АП):

• n-й член: a_n = a_1 + (n−1)d, де d — різниця.

• Сума n членів: S_n = (a_1 + a_n)·n / 2 = (2a_1 + (n−1)d)·n / 2.

• Ознака: різниця сусідніх членів стала: a_(n+1) − a_n = d.

Геометрична прогресія (ГП):

• n-й член: b_n = b_1·q^(n−1), де q — знаменник.

• Сума n членів: S_n = b_1·(q^n − 1)/(q − 1), q ≠ 1.

• Сума нескінченної ГП (|q| < 1): S = b_1 / (1 − q).

• Ознака: відношення сусідніх членів стале: b_(n+1)/b_n = q.

Ймовірність:

• Класичне означення: P(A) = m/n, де m — сприятливі випадки, n — усі рівноможливі.

• P завжди від 0 до 1. Неможлива подія — 0, достовірна — 1.

Тригонометрія:

• Основна тотожність: sin²α + cos²α = 1.

• tg α = sin α / cos α; ctg α = cos α / sin α.

• 1 + tg²α = 1/cos²α; 1 + ctg²α = 1/sin²α.

• Синуси/косинуси подвійного кута: sin 2α = 2 sin α cos α; cos 2α = cos²α − sin²α.

Вектори (a = (x₁; y₁), b = (x₂; y₂)):

• Довжина (модуль): |a| = √(x₁² + y₁²).

• Сума: a + b = (x₁+x₂; y₁+y₂).

• Скалярний добуток: a·b = x₁x₂ + y₁y₂ = |a|·|b|·cos φ.

• Умова перпендикулярності: a·b = 0.

• Умова колінеарності: x₁/x₂ = y₁/y₂ (координати пропорційні).

🔢 Як це працює на прикладі

Дано поняття: (1) сума нескінченної ГП, (2) скалярний добуток, (3) сума n членів АП.

Означення: (А) x₁x₂ + y₁y₂; (Б) b_1/(1−q); (В) (a_1+a_n)·n/2; (Г) a_1·q^(n−1).

Розбір:

• (1) сума нескінченної ГП → формула b_1/(1−q) → це (Б).

• (2) скалярний добуток → x₁x₂ + y₁y₂ → це (А).

• (3) сума n членів АП → (a_1+a_n)·n/2 → це (В).

Пара (Г) — це n-й член ГП, вона зайва (у matching один варіант завжди зайвий). Відповідь: 1–Б, 2–А, 3–В.

⚠️ Типові помилки

• Плутають n-й член ГП (b_1·q^(n−1)) із сумою ГП — обидві мають q, але у сумі є дріб.

• Плутають скалярний добуток (дає число: x₁x₂+y₁y₂) з координатами суми векторів (дає вектор).

• У сумі АП забувають ділити на 2 або множать не на n.

• Плутають умову перпендикулярності (a·b=0) з колінеарністю (координати пропорційні).

• Забувають, що зайвий варіант справа не використовується — намагаються «прилаштувати» його й псують правильну пару.

🎯 Що завчити напамʼять

• a_n = a_1+(n−1)d; S_n(АП) = (a_1+a_n)n/2.

• b_n = b_1·q^(n−1); S(∞ ГП) = b_1/(1−q).

• P = m/n.

• sin²α+cos²α=1; tg α = sin/cos.

• |a|=√(x²+y²); a·b = x₁x₂+y₁y₂; a·b=0 ⟺ перпендикулярні.

🧠 Перевір себе

1. Формула довжини вектора (2; −3)?

2. Чому дорівнює S нескінченної ГП з b_1=4, q=1/2?

3. Яка умова перпендикулярності векторів?

4. n-й член ГП з b_1=3, q=2, n=4?

Відповіді: 1 — √(4+9)=√13; 2 — 4/(1−0,5)=8; 3 — скалярний добуток дорівнює 0 (a·b=0); 4 — 3·2³=24.