Шпаргалка: Математика
92 пунктів із 19 тем — усе, що варто знати напамʼять.
Відкриється вікно друку — там можна одразу зберегти у PDF. Шапка сайту й кнопки на аркуш не потраплять.
Числа, відсотки, пропорції, модуль; дії з раціональними та дійсними числами; прикладні й текстові задачі (відсотки, рух, робота, суміші)
- p% від a = a·p/100; ціле за частиною b = a·100/p.
- Множники змін: ×(1+p/100) і ×(1−p/100).
- Основна властивість пропорції: a·d = b·c.
- S = v·t; A = P·t; за течією v+u, проти v−u.
- |a| ≥ 0 завжди; концентрація = частка речовини в суміші.
Алгебраїчні вирази: степені з цілим і раціональним показником, корені, формули скороченого множення, перетворення й спрощення виразів
- Усі формули скороченого множення (квадрати, різниця квадратів, куби, сума/різниця кубів).
- Властивості степенів: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ; a⁻ⁿ = 1/aⁿ; a⁰ = 1.
- a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) і √(a²) = |a|.
Показникові й логарифмічні вирази: властивості степенів і логарифмів, обчислення значень
- a^(log_a b) = b (основна тотожність).
- log_a(xy)=log_a x+log_a y; log_a(x/y)=log_a x−log_a y; log_a(x^k)=k·log_a x.
- log_a b = log_c b / log_c a; log_a b = 1/log_b a.
- log_a 1=0, log_a a=1.
- a^(1/n)=ⁿ√a, a^(−n)=1/a^n.
Рівняння та системи рівнянь: лінійні, квадратні, дробово-раціональні, ірраціональні; теорема Вієта
- D = b²−4ac і x = (−b ± √D)/(2a).
- Вієта: x₁+x₂ = −b/a, x₁·x₂ = c/a.
- x₁²+x₂² = (x₁+x₂)² − 2x₁x₂.
- Ірраціональне і дробове завжди вимагають перевірки/ОДЗ.
Показникові, логарифмічні та тригонометричні рівняння; відбір коренів
- sin x=a: (−1)^n arcsin a+πn; cos x=a: ±arccos a+2πn; tg x=a: arctg a+πn.
- Часткові значення: sin=0,±1; cos=0,±1 та їх розв'язки.
- log_a b=c ⇔ a^c=b; ОДЗ логарифма: аргумент>0, основа>0 і ≠1.
- Табличні: arcsin(1/2)=π/6, arccos(1/2)=π/3, arctg 1=π/4, arccos 0=π/2.
Нерівності та їх системи: лінійні, квадратні, дробові, показникові, логарифмічні; метод інтервалів
- Ділення/множення на відʼємне → знак нерівності обертається.
- a>1: знак зберігається; 0<a<1: знак обертається (і для показникових, і для логарифмічних).
- Метод інтервалів: праворуч 0, розклад на множники, знаки чергуються (крім парної кратності).
- Нулі знаменника — завжди виколоті.
- ОДЗ логарифма: аргумент >0, основа >0 і ≠1.
Тригонометрія: тотожності, значення тригонометричних функцій, формули зведення, перетворення тригонометричних виразів
- sin²α + cos²α = 1.
- Табличні значення sin, cos, tg для 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
- Знаки функцій по чвертях.
- Правило зведення: 90°/270° → міняється, 180°/360° → ні; знак за чвертю.
- Формули sin2α, cos2α, sin(α±β), cos(α±β).
Функції та їх властивості: область визначення й значень, парність, монотонність, найбільше/найменше значення, властивості за формулою (текстовий опис)
- Вершина параболи: x₀=−b/(2a).
- Парна: f(−x)=f(x); непарна: f(−x)=−f(x).
- Заборони для D(f): знаменник≠0, підкореневий≥0, під логарифмом>0.
- x²: E=[0;+∞); sin, cos: E=[−1;1].
- aˣ, logₐx зростають при a>1, спадають при 0<a<1.
Числові послідовності та прогресії: арифметична й геометрична прогресії, їх суми й члени
- aₙ = a₁ + (n−1)d
- Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n
- bₙ = b₁·q^(n−1)
- Sₙ = b₁·(qⁿ − 1)/(q − 1)
- S∞ = b₁/(1 − q) при |q| < 1
- Властивості: aₙ = (aₙ₋₁+aₙ₊₁)/2 та bₙ² = bₙ₋₁·bₙ₊₁
Похідна та її застосування: правила диференціювання, рівняння дотичної, екстремуми, найбільше/найменше значення функції
- Таблицю похідних (усі функції вище).
- Чотири правила диференціювання + похідну складної функції.
- Рівняння дотичної: y = f(x₀)+f′(x₀)(x−x₀).
- Алгоритм найб./найм. на відрізку: критичні точки + кінці.
- f′>0 — зростає, f′<0 — спадає; зміна знака f′ дає екстремум.
Первісна та визначений інтеграл; обчислення площі криволінійної трапеції
- Формулу Ньютона–Лейбніца: ∫ від a до b f = F(b) − F(a).
- Таблицю первісних (степінь, 1/x, sin, cos, e^x).
- Степеневу: x^(n+1)/(n+1) + C.
- S = ∫(верхня − нижня)dx; межі — з точок перетину.
Планіметрія (за числовими даними): трикутники, чотирикутники, коло й круг, многокутники; периметри, площі, теорема Піфагора, теореми синусів і косинусів
- c² = a² + b²; c² = a² + b² − 2ab·cos C; a/sin A = 2R.
- S трикутника: ½ah, ½ab·sinC, Герон, abc/4R, pr.
- S: паралелограм a·h, ромб ½d₁d₂, трапеція ½(a+b)h, круг πR².
- C = 2πR, сектор πR²α/360.
- Сума кутів n-кутника 180°(n−2); рівносторонній S = a²√3/4.
Стереометрія (за числовими даними): призма, піраміда, циліндр, конус, куля — об'єми та площі поверхонь; кути й відстані
- V призми = Sосн·H; V піраміди = (1/3)Sосн·H.
- V циліндра = πR²H; V конуса = (1/3)πR²H.
- V кулі = (4/3)πR³; S сфери = 4πR².
- Sбіч конуса = πRl; Sбіч циліндра = 2πRH.
- l конуса = √(R²+H²); діагональ куба = a√3.
- Апофема правильної піраміди: l = √(H² + r²), r — радіус вписаного кола основи.
Комбінаторика, теорія ймовірностей і статистика; координати та вектори на площині й у просторі
- Cⁿₖ = n!/(k!(n−k)!), Aⁿₖ = n!/(n−k)!, Pₙ = n!
- P(A) = m/n; P(Ā) = 1 − P(A)
- |a| = √(x²+y²+z²); a·b = x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂
- Перпендикуляр ⇔ a·b = 0; колінеарність ⇔ пропорційність координат
- Середина відрізка та відстань між точками
Відповідність: функція або вираз ↔ його властивість, значення, похідна чи область визначення
- Усі базові похідні й три правила (сума, добуток, частка, складна).
- Умови ОДЗ: дріб ≠ 0, корінь ≥ 0, log > 0, арксин/аркос від −1 до 1.
- Область значень sin, cos: [−1; 1]; aˣ > 0; x² ≥ 0.
- Парна: f(−x)=f(x); непарна: f(−x)=−f(x).
Відповідність: рівняння, нерівність або вираз ↔ його розв'язок або числове значення
- Дискримінант D=b²−4ac; корені x=(−b±√D)/2a.
- Вієта: x₁+x₂=−b/a; x₁·x₂=c/a.
- При діленні нерівності на від'ємне — знак перевертається.
- Властивості степенів і коренів (див. вище).
- У matching один варіант завжди зайвий — не намагайся використати всі чотири.
Відповідність: геометрична фігура або тіло ↔ формула площі, периметра чи об'єму
- Круг: C = 2πR, S = πR².
- Куля: S = 4πR², V = (4/3)πR³.
- Циліндр: V = πR²h; конус: V = ⅓πR²h.
- Піраміда: V = ⅓S_осн·h; призма: V = S_осн·h.
- Ромб: S = ½d₁d₂; трапеція: S = ½(a+b)h; трикутник: S = ½ah.
- Правило розмірності: периметр — 1 степінь, площа — 2, об'єм — 3.
Відповідність: математичне поняття ↔ означення або формула (прогресії, ймовірність, тригонометрія, вектори)
- a_n = a_1+(n−1)d; S_n(АП) = (a_1+a_n)n/2.
- b_n = b_1·q^(n−1); S(∞ ГП) = b_1/(1−q).
- P = m/n.
- sin²α+cos²α=1; tg α = sin/cos.
- |a|=√(x²+y²); a·b = x₁x₂+y₁y₂; a·b=0 ⟺ перпендикулярні.
Відповідність: задача або умова ↔ її числова відповідь (обчислення)
- Порядок дій: дужки → степені/корені → множення/ділення → додавання/віднімання.
- Відсоток у частку: p% = p/100 (25% = 0,25; 20% = 0,2; 10% = 0,1).
- Степені: 2²=4, 2³=8, 2⁴=16, 3²=9, 3³=27, 5²=25.
- Корені: √4=2, √9=3, √16=4, √25=5, √36=6, √49=7, √64=8, √81=9, √100=10.
- Кожна умова = одна літера; відповідей більше — частина зайва.