Відповідність: геометрична фігура або тіло ↔ формула площі, периметра чи об'єму

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють, чи знаєш ти формули площ, периметрів та об'ємів основних фігур і тіл і чи вмієш швидко зіставити фігуру з правильною формулою. У завданні дано три фігури (або описи) і потрібно кожній підібрати формулу з чотирьох варіантів. Ключове — тверде знання формул планіметрії і стереометрії.

📖 Головне

• Периметр — сума довжин сторін (для многокутника), для кола це довжина: C = 2πR = πd.

• Площа прямокутника: S = ab; квадрата: S = a²; периметр квадрата P = 4a, прямокутника P = 2(a+b).

• Площа трикутника: S = ½·a·h (сторона на висоту); також S = ½·a·b·sinγ.

• Площа паралелограма: S = a·h (сторона на висоту до неї); ромба: S = ½·d₁·d₂ (півдобуток діагоналей).

• Площа трапеції: S = ½·(a+b)·h (півсума основ на висоту).

• Площа круга: S = πR²; довжина кола C = 2πR.

• Площа кругового сектора: S = πR²·(n/360), де n — градусна міра дуги.

• Об'єм прямокутного паралелепіпеда: V = abc; куба: V = a³.

• Об'єм призми: V = S_осн·h (площа основи на висоту).

• Об'єм циліндра: V = πR²·h; площа бічної поверхні S_біч = 2πRh.

• Об'єм піраміди: V = ⅓·S_осн·h; конуса: V = ⅓·πR²·h.

• Площа поверхні кулі: S = 4πR²; об'єм кулі: V = (4/3)·πR³.

• Ключова ідея класифікації: у площ розмірність «квадрат» (є одна степінь 2 або добуток двох довжин), у об'ємів — «куб» (три множники-довжини), у периметрів — лінійна (перша степінь).

🔢 Як це працює на прикладі

Дано зіставити: А) об'єм циліндра, Б) площа круга, В) об'єм конуса. Варіанти: 1) πR²; 2) πR²h; 3) ⅓πR²h; 4) 4πR².

Крок 1. Площа круга — плоска фігура, розмірність площі: це πR² → варіант 1, отже Б-1.

Крок 2. Об'єм циліндра = площа основи πR² на висоту h → πR²h, це варіант 2, А-2.

Крок 3. Об'єм конуса — третина від циліндра: ⅓πR²h → варіант 3, В-3.

Варіант 4 (4πR²) — площа поверхні кулі, зайвий. Відповідь: А-2, Б-1, В-3.

⚠️ Типові помилки

• Плутають об'єм циліндра (πR²h) і об'єм конуса (⅓πR²h) — забувають множник ⅓ у конуса й піраміди.

• Плутають довжину кола C = 2πR і площу круга S = πR² — перше лінійне, друге квадратичне.

• Площу поверхні кулі 4πR² приймають за об'єм; об'єм кулі — (4/3)πR³.

• У ромба множать діагоналі без ½: правильно S = ½·d₁·d₂.

• У трапеції беруть суму основ замість півсуми: правильно S = ½·(a+b)·h.

🎯 Що завчити напам'ять

• Круг: C = 2πR, S = πR².

• Куля: S = 4πR², V = (4/3)πR³.

• Циліндр: V = πR²h; конус: V = ⅓πR²h.

• Піраміда: V = ⅓S_осн·h; призма: V = S_осн·h.

• Ромб: S = ½d₁d₂; трапеція: S = ½(a+b)h; трикутник: S = ½ah.

• Правило розмірності: периметр — 1 степінь, площа — 2, об'єм — 3.

🧠 Перевір себе

1. Яка формула об'єму конуса?

2. Чим відрізняються формули для довжини кола і площі круга?

3. Площа ромба з діагоналями 6 і 8?

4. Яка формула площі поверхні кулі радіуса R?

Відповіді: 1 — V = ⅓πR²h; 2 — довжина кола C = 2πR (лінійна), площа круга S = πR² (квадратична); 3 — S = ½·6·8 = 24; 4 — S = 4πR².