Відповідність: функція або вираз ↔ його властивість, значення, похідна чи область визначення

📌 Про що ця тема

У завданнях на відповідність тобі дають три об'єкти (функції, вирази) і чотири варіанти властивостей (значення, похідну, область визначення, точку тощо). Треба кожному об'єкту знайти єдину пару. Перевіряють уміння швидко застосувати кілька тем одразу: похідні, ОДЗ, обчислення значень. Ключове — не помилитися в дрібницях, бо один зайвий варіант навмисне «зайвий».

📖 Головне

• Область визначення (ОДЗ). Дріб: знаменник ≠ 0. Корінь √ парного степеня: підкореневий вираз ≥ 0. Логарифм: аргумент > 0. Арксинус/арккосинус: аргумент від −1 до 1. tg x: x ≠ π/2 + πn.

• Похідні (треба знати напам'ять): (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹; (√x)′ = 1/(2√x); (1/x)′ = −1/x²; (sin x)′ = cos x; (cos x)′ = −sin x; (tg x)′ = 1/cos²x; (eˣ)′ = eˣ; (ln x)′ = 1/x; (aˣ)′ = aˣ·ln a.

• Правила похідних: (u±v)′ = u′±v′; (u·v)′ = u′v + uv′; (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²; складна функція (f(g))′ = f′(g)·g′.

• Значення функції в точці: підстав число замість x і обчисли, стеж за знаками й порядком дій.

• Область значень: у sin і cos — від −1 до 1; у x² та |x| — ≥ 0; у aˣ — > 0.

• Парність: f(−x) = f(x) — парна (симетрія відносно OY); f(−x) = −f(x) — непарна.

• Стратегія: спочатку постав ті пари, де впевнений, а решту — методом виключення. Один варіант завжди зайвий, його не використовуєш.

🔢 Як це працює на прикладі

Задано функції: А) f(x)=x³, Б) f(x)=ln x, В) f(x)=√(x−2). Треба знайти похідну (або ОДЗ).

• А) f′(x)=3x² — похідна кубічної.

• Б) ОДЗ ln x: аргумент > 0, тобто x > 0. Похідна: 1/x.

• В) √(x−2): підкореневий ≥ 0 → x−2 ≥ 0 → x ≥ 2. ОДЗ: [2; +∞).

Другий приклад — значення. f(x)=x²−3x при x=2: 2²−3·2 = 4−6 = −2. Уважно: −2, а не 2, бо 4−6 від'ємне.

⚠️ Типові помилки

• Плутають знак у похідній cos: (cos x)′ = −sin x, а не +sin x.

• У ОДЗ кореня ставлять > замість ≥ (нуль під коренем дозволено).

• При похідній дробу міняють місцями чисельник: правильно u′v − uv′, а не uv′ − u′v.

• Забувають множник g′ у складній функції: (sin 2x)′ = 2cos 2x, а не cos 2x.

• Підставляючи від'ємне число, гублять знак: (−2)² = 4, а не −4.

• Хапаються за зайвий (четвертий) варіант, хоча він навмисне не має пари.

🎯 Що завчити напам'ять

• Усі базові похідні й три правила (сума, добуток, частка, складна).

• Умови ОДЗ: дріб ≠ 0, корінь ≥ 0, log > 0, арксин/аркос від −1 до 1.

• Область значень sin, cos: [−1; 1]; aˣ > 0; x² ≥ 0.

• Парна: f(−x)=f(x); непарна: f(−x)=−f(x).

🧠 Перевір себе

1. Похідна f(x)=cos x?

2. ОДЗ функції √(x+3)?

3. Значення f(x)=2x²−5 при x=−1?

4. Область значень функції sin x?

Відповіді: 1 — −sin x; 2 — x ≥ −3, тобто [−3; +∞); 3 — 2·1−5 = −3; 4 — від −1 до 1, тобто [−1; 1].