Комбінаторика, теорія ймовірностей і статистика; координати та вектори на площині й у просторі

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють уміння рахувати кількість комбінацій, знаходити ймовірність події, працювати зі статистичними характеристиками, а також оперувати координатами точок і векторами на площині та в просторі. Ключові поняття: перестановки, сполучення, класична ймовірність, координати вектора, скалярний добуток.

📖 Головне

• Перестановки: Pₙ = n! — кількість способів упорядкувати n різних елементів. 0! = 1.

• Розміщення: Aⁿₖ = n!/(n−k)! — вибір k елементів з n, коли порядок важливий.

• Сполучення: Cⁿₖ = n!/(k!(n−k)!) — вибір k з n, коли порядок НЕ важливий. Cⁿₖ = Cⁿₙ₋ₖ.

• Правило суми: якщо дії взаємовиключні — кількості додають. Правило добутку: якщо дії послідовні — множать.

• Класична ймовірність: P(A) = m/n, де m — сприятливі випадки, n — усі рівноможливі. 0 ≤ P ≤ 1.

• Протилежна подія: P(Ā) = 1 − P(A).

• Незалежні події: P(A і B) = P(A)·P(B). Несумісні: P(A або B) = P(A) + P(B).

• Статистика: середнє арифметичне = сума/кількість; мода — найчастіше значення; медіана — середнє за впорядкуванням; розмах = max − min.

• Координати вектора за двома точками: AB = (x₂−x₁; y₂−y₁) (і z для простору).

• Довжина вектора: |a| = √(x²+y²) на площині, √(x²+y²+z²) у просторі.

• Дії: a+b і a−b покоординатно; k·a = (kx; ky).

• Скалярний добуток: a·b = x₁x₂+y₁y₂(+z₁z₂) = |a|·|b|·cosφ.

• Перпендикулярність: a·b = 0. Колінеарність: координати пропорційні (x₁/x₂ = y₁/y₂).

• Відстань між точками = довжина вектора між ними. Середина відрізка: ((x₁+x₂)/2; (y₁+y₂)/2).

🔢 Як це працює на прикладі

Приклад 1. З 7 книжок треба вибрати 3 на полицю (порядок неважливий). Це сполучення: C⁷₃ = 7!/(3!·4!) = (7·6·5)/(3·2·1) = 210/6 = 35 способів.

Приклад 2. Кубик кидають один раз. Знайти P(випаде число, кратне 3). Сприятливі: 3 і 6 → m=2, усіх n=6. P = 2/6 = 1/3.

Приклад 3. Дано A(1;2), B(4;6). Знайти |AB|. AB = (4−1; 6−2) = (3;4). |AB| = √(9+16) = √25 = 5.

⚠️ Типові помилки

• Плутають сполучення і розміщення: якщо порядок важливий (напр. розподіл місць) — це A, якщо ні (просто вибір групи) — це C.

• У правилі добутку множать, а плутають із додаванням (і навпаки) — дивіться на «і» (множення) чи «або» (додавання).

• Забувають, що ймовірність не може бути більшою за 1 — знак помилки в обчисленнях.

• Координати вектора беруть «кінець мінус початок», а не навпаки.

• Плутають скалярний добуток (дає число) з іншими діями; забувають третю координату z у просторі.

🎯 Що завчити напамʼять

• Cⁿₖ = n!/(k!(n−k)!), Aⁿₖ = n!/(n−k)!, Pₙ = n!

• P(A) = m/n; P(Ā) = 1 − P(A)

• |a| = √(x²+y²+z²); a·b = x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂

• Перпендикуляр ⇔ a·b = 0; колінеарність ⇔ пропорційність координат

• Середина відрізка та відстань між точками

🧠 Перевір себе

1. Скільки способів вибрати 2 чергових з 5 учнів?

2. У коробці 3 білі та 2 чорні кулі. P(витягти білу)?

3. Дано a(2;−1), b(3;6). Чи перпендикулярні вони?

4. Знайти |c|, якщо c = (1;2;2).

Відповіді: 1—C⁵₂ = 10; 2—3/5 = 0,6; 3—a·b = 2·3+(−1)·6 = 0, отже так, перпендикулярні; 4—√(1+4+4) = 3.