Тригонометрія: тотожності, значення тригонометричних функцій, формули зведення, перетворення тригонометричних виразів

# Тригонометрія: тотожності, значення, формули зведення

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють уміння спрощувати тригонометричні вирази, обчислювати значення функцій за відомими даними та застосовувати формули зведення й основні тотожності. Ключове поняття — тригонометричні тотожності, що звʼязують sin, cos, tg, ctg одного аргументу.

📖 Головне

• Основна тотожність: sin²α + cos²α = 1. Звідси sin²α = 1 − cos²α і навпаки.

• Звʼязок з тангенсом: tg α = sin α / cos α, ctg α = cos α / sin α, tg α · ctg α = 1.

• 1 + tg²α = 1/cos²α; 1 + ctg²α = 1/sin²α.

• Знаки функцій за чвертями: I — всі «+»; II — sin «+»; III — tg, ctg «+»; IV — cos «+». Мнемоніка: «всі студентиタ...» або просто малюй коло.

• Парність: cos(−α) = cos α (парна); sin(−α) = −sin α, tg(−α) = −tg α (непарні).

• Формули зведення: аргументи виду 90°±α, 180°±α, 270°±α, 360°±α. Правило: якщо кут 90° або 270° (π/2, 3π/2) — функція МІНЯЄТЬСЯ (sin↔cos, tg↔ctg); якщо 180° або 360° (π, 2π) — НЕ міняється. Знак ставимо за чвертю початкової функції.

• Формули додавання: sin(α±β) = sinα cosβ ± cosα sinβ; cos(α±β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ.

• Подвійний кут: sin2α = 2 sinα cosα; cos2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1.

• Періоди: sin, cos — 2π; tg, ctg — π.

Табличні значення:

• sin: 0°→0, 30°→1/2, 45°→√2/2, 60°→√3/2, 90°→1.

• cos: 0°→1, 30°→√3/2, 45°→√2/2, 60°→1/2, 90°→0.

• tg: 0°→0, 30°→√3/3, 45°→1, 60°→√3.

🔢 Як це працює на прикладі

Приклад 1. Спростити cos(90° + α).

90° → функція міняється (cos→sin). Кут 90°+α — це II чверть, де cos відʼємний. Отже cos(90°+α) = −sin α.

Приклад 2. Дано sin α = 3/5, α — II чверть. Знайти cos α.

cos²α = 1 − sin²α = 1 − 9/25 = 16/25, cos α = ±4/5. У II чверті cos «−», тому cos α = −4/5.

⚠️ Типові помилки

• Плутають, коли функція міняється: забувають, що при 90° і 270° sin↔cos, а при 180° і 360° — ні.

• Неправильний знак після зведення: ставлять знак за кінцевою функцією, а треба за чвертю ВИХІДНОГО виразу.

• Втрачають знак при добуванні кореня з cos²α чи sin²α — забувають визначити чверть.

• Плутають формулу cos2α (три форми) або пишуть cos2α = cos²α + sin²α замість «−».

• sin(α+β) розкривають як sinα + sinβ — грубе спотворення, так робити не можна.

🎯 Що завчити напамʼять

• sin²α + cos²α = 1.

• Табличні значення sin, cos, tg для 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.

• Знаки функцій по чвертях.

• Правило зведення: 90°/270° → міняється, 180°/360° → ні; знак за чвертю.

• Формули sin2α, cos2α, sin(α±β), cos(α±β).

🧠 Перевір себе

1. Спростіть sin(180° − α).

2. cos α = −1/2, α у III чверті. Знайдіть sin α.

3. Обчисліть sin2α, якщо sinα = 0,6, cosα = 0,8.

4. Спростіть tg(270° + α).

Відповіді: 1 — sin α; 2 — sin α = −√3/2 (у III чверті sin «−»); 3 — sin2α = 2·0,6·0,8 = 0,96; 4 — 270° міняє функцію (tg→ctg), IV чверть tg «−», отже −ctg α.