Нерівності та їх системи: лінійні, квадратні, дробові, показникові, логарифмічні; метод інтервалів

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють уміння розвʼязувати нерівності різних типів і знаходити множину їх розвʼязків (часто у вигляді проміжку). Ключове поняття — рівносильні перетворення та метод інтервалів. У тесті просять указати проміжок, кількість цілих розвʼязків або найбільше/найменше ціле число.

📖 Головне

• Лінійна нерівність ax+b>0: ділимо на a, при діленні на відʼємне a знак нерівності МІНЯЄТЬСЯ на протилежний.

• Квадратна ax²+bx+c>0: знаходимо корені через D, вітки параболи дивляться вгору при a>0. Розвʼязок — де графік вище/нижче осі.

• Якщо a>0 і є два корені x₁<x₂: вираз >0 при x<x₁ або x>x₂ («зовні»), <0 при x₁<x<x₂ («всередині»).

• Метод інтервалів: переносимо все в один бік (щоб праворуч 0), розкладаємо на множники, наносимо нулі на пряму, визначаємо знаки на проміжках. Для кратного кореня парної кратності знак НЕ міняється.

• Дробова нерівність f(x)/g(x)>0 зводиться до методу інтервалів, АЛЕ нулі знаменника завжди виколоті (g(x)≠0), навіть у нестрогій нерівності.

• Не можна множити на знаменник, не знаючи його знак! Переносимо в один бік і зводимо до спільного дробу.

• Показникова: a^f(x) vs a^g(x). Якщо a>1 — знак зберігається (f>g). Якщо 0<a<1 — знак МІНЯЄТЬСЯ (f<g).

• Логарифмічна: спочатку ОДЗ (аргументи >0), потім log_a f vs log_a g. При a>1 знак зберігається, при 0<a<1 — міняється.

• Строга нерівність (<,>) → корінь виколотий (кружечок). Нестрога (≤,≥) → зафарбований.

🔢 Як це працює на прикладі

Приклад 1: (x−1)(x+2)/(x−3) ≥ 0.

Нулі: x=1, x=−2 (зафарбовані), x=3 (виколотий, бо знаменник).

На прямій точки −2, 1, 3. Праворуч від 3 знак «+». Далі чергуємо: (3;∞)+, (1;3)−, (−2;1)+, (−∞;−2)−.

Беремо «+» разом з нулями: x∈[−2;1]∪(3;∞).

Приклад 2: (1/2)^(x²) < (1/2)^(2x−3).

Основа 0<1/2<1 → знак міняється: x² > 2x−3, тобто x²−2x+3>0. D=4−12<0, вітки вгору → завжди >0. Розвʼязок: x∈(−∞;∞).

⚠️ Типові помилки

• Забувають змінити знак нерівності при діленні/множенні на відʼємне число.

• У показникових/логарифмічних із основою 0<a<1 не міняють знак нерівності.

• Забувають ОДЗ логарифма — аргумент має бути строго >0, і множина розвʼязків має лежати в ОДЗ.

• Множать нерівність на знаменник, не врахувавши його знак,— так втрачають частину розвʼязків.

• Плутають виколоту й зафарбовану точку: нуль знаменника ЗАВЖДИ виколотий.

🎯 Що завчити напамʼять

• Ділення/множення на відʼємне → знак нерівності обертається.

• a>1: знак зберігається; 0<a<1: знак обертається (і для показникових, і для логарифмічних).

• Метод інтервалів: праворуч 0, розклад на множники, знаки чергуються (крім парної кратності).

• Нулі знаменника — завжди виколоті.

• ОДЗ логарифма: аргумент >0, основа >0 і ≠1.

🧠 Перевір себе

1. Розвʼязати −2x+6>0.

2. При якому знаку розвʼязується 3^(x)>3^5?

3. Скільки цілих розвʼязків має (x−1)(x−4)<0?

4. Чи входить точка x=2 у розвʼязок (x−2)/(x+1)≥0?

Відповіді: 1—x<3; 2—x>5 (a>1, знак зберігається); 3—два (x=2,3); 4—так, x=2 зафарбована (чисельник=0), бо нерівність нестрога.