Функції та їх властивості: область визначення й значень, парність, монотонність, найбільше/найменше значення, властивості за формулою (текстовий опис)

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють, чи вмієш ти «читати» функцію: знаходити її область визначення й значень, визначати парність/непарність, зростання/спадання, найбільше і найменше значення. Ключове поняття — властивості функції, які можна дістати прямо з формули або з опису, без побудови повного графіка.

📖 Головне

• Область визначення (D(f)) — усі x, при яких формула має зміст. Забороняється: ділення на 0, корінь парного степеня з відʼємного, логарифм від ≤0, тангенс при cos=0.

• Область значень (E(f)) — усі y, які функція може приймати. Для y=x² це [0;+∞), для y=√x теж [0;+∞), для y=sin x — [−1;1].

• Функція парна, якщо f(−x)=f(x) (графік симетричний відносно OY). Приклади: x², cos x, |x|.

• Функція непарна, якщо f(−x)=−f(x) (симетрія відносно початку координат). Приклади: x³, sin x, 1/x.

• Обовʼязкова умова парності/непарності: D(f) симетрична відносно нуля. Якщо ні — функція ні парна, ні непарна.

• Зростає: більшому x відповідає більше f(x). Спадає: більшому x — менше f(x).

• y=kx+b зростає при k>0, спадає при k<0.

• y=ax²+bx+c: вершина x₀=−b/(2a). При a>0 гілки вгору, спадає до x₀, зростає після; мінімум у вершині. При a<0 навпаки, максимум у вершині.

• Найбільше/найменше значення на відрізку [a;b] шукають серед значень на кінцях і в критичних точках (вершина параболи, точки екстремуму), що лежать усередині.

• y=aˣ (a>1) зростає; (0<a<1) спадає. y=logₐx аналогічно.

• Періодичність: sin, cos мають період 2π, tg — π.

🔢 Як це працює на прикладі

Приклад 1. Знайти D(f) для f(x)=√(x−2)/(x−5).

Під коренем: x−2≥0 → x≥2. Знаменник: x−5≠0 → x≠5.

Відповідь: D(f)=[2;5)∪(5;+∞).

Приклад 2. Найбільше значення f(x)=−x²+4x−1 на [0;3].

Вершина: x₀=−4/(2·(−1))=2, лежить у [0;3]. a<0 → там максимум.

f(2)=−4+8−1=3. Це найбільше значення.

Перевіримо кінці: f(0)=−1, f(3)=−9+12−1=2. Отже max=3.

⚠️ Типові помилки

• Забувають, що для парності/непарності потрібна симетрична область визначення, і відразу лізуть у формулу.

• Плутають парну й непарну: перевіряють знак неуважно; f(−x)=f(x) — парна, =−f(x) — непарна.

• При пошуку найбільшого значення беруть тільки кінці відрізка й забувають про вершину параболи всередині.

• Плутають область визначення й область значень.

• Вважають, що будь-яка квадратична функція має і max, і min на всій прямій — насправді лише один екстремум (у вершині).

🎯 Що завчити напамʼять

• Вершина параболи: x₀=−b/(2a).

• Парна: f(−x)=f(x); непарна: f(−x)=−f(x).

• Заборони для D(f): знаменник≠0, підкореневий≥0, під логарифмом>0.

• x²: E=[0;+∞); sin, cos: E=[−1;1].

• aˣ, logₐx зростають при a>1, спадають при 0<a<1.

🧠 Перевір себе

1. Парна чи непарна f(x)=x³−x?

2. Знайди D(f) для f(x)=log(x+3).

3. Найменше значення y=x²−6x+11.

4. Зростає чи спадає y=(1/2)ˣ?

Відповіді: 1 — непарна (f(−x)=−x³+x=−f(x)); 2 — x>−3, тобто (−3;+∞); 3 — вершина x=3, y=9−18+11=2, min=2; 4 — спадає (основа 0<1/2<1).