Стереометрія (за числовими даними): призма, піраміда, циліндр, конус, куля — об'єми та площі поверхонь; кути й відстані

# Стереометрія: об'єми, площі поверхонь, кути й відстані

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють уміння за числовими даними обчислити об'єм чи площу поверхні призми, піраміди, циліндра, конуса або кулі, а також знайти кути (між прямими, прямою і площиною, двогранні) та відстані у просторі. Ключове — правильно «побачити» тіло, виділити плоскі трикутники й застосувати планіметрію (Піфагор, тригонометрію) всередині стереометрії.

📖 Головне

• Призма: V = Sосн · H, де H — висота. Бічна поверхня прямої призми Sбіч = Pосн · H. Повна Sп = Sбіч + 2Sосн.

• Паралелепіпед прямокутний: V = abc, діагональ d = √(a²+b²+c²).

• Куб з ребром a: V = a³, Sп = 6a², діагональ d = a√3.

• Піраміда: V = (1/3)·Sосн·H. Для правильної піраміди бічна поверхня Sбіч = (1/2)·Pосн·l, де l — апофема (висота бічної грані).

• Правильна піраміда: вершина проектується в центр основи; апофема, висота і радіус вписаного кола основи утворюють прямокутний трикутник.

• Циліндр: V = πR²H, Sбіч = 2πRH, Sп = 2πRH + 2πR² = 2πR(H+R).

• Конус: V = (1/3)πR²H, Sбіч = πRl, Sп = πRl + πR² = πR(l+R). Твірна l = √(R²+H²).

• Куля: V = (4/3)πR³, площа сфери S = 4πR².

• Кут між прямою і площиною — це кут між прямою та її проекцією на площину.

• Кут між площинами (двогранний) вимірюють через лінійний кут: у точці ребра проводять перпендикуляри до ребра в кожній площині.

• Відстань від точки до площини — довжина перпендикуляра, опущеного на площину.

• Осьовий переріз циліндра — прямокутник 2R×H; конуса — рівнобедрений трикутник з основою 2R і боками l.

🔢 Як це працює на прикладі

Приклад 1. Правильна чотирикутна піраміда: сторона основи a = 6, висота H = 4. Знайти повну поверхню.

Радіус вписаного кола основи (квадрата) r = a/2 = 3. Апофема l = √(H² + r²) = √(16+9) = 5.

Sбіч = (1/2)·P·l = (1/2)·24·5 = 60. Sосн = 36. Sп = 60 + 36 = 96.

Приклад 2. Конус: R = 3, H = 4. Знайти об'єм і кут між твірною та основою.

V = (1/3)·π·9·4 = 12π. Твірна l = √(9+16) = 5.

Кут α між твірною і основою: tg α = H/R = 4/3, тобто α = arctg(4/3).

⚠️ Типові помилки

• Плутають апофему піраміди (висота бічної грані) з висотою піраміди H — у формулу Sбіч іде апофема, у V — висота.

• Забувають множник 1/3 в об'ємі піраміди й конуса.

• У повній поверхні конуса/циліндра пропускають площу основи (основ).

• Кут між прямою і площиною вимірюють не до проекції, а до самого перпендикуляра — виходить доповнення до 90°.

• Плутають радіус вписаного (r = a/2) і описаного (R = a√2/2) кола квадрата при роботі з апофемою чи бічним ребром.

🎯 Що завчити напамʼять

• V призми = Sосн·H; V піраміди = (1/3)Sосн·H.

• V циліндра = πR²H; V конуса = (1/3)πR²H.

• V кулі = (4/3)πR³; S сфери = 4πR².

• Sбіч конуса = πRl; Sбіч циліндра = 2πRH.

• l конуса = √(R²+H²); діагональ куба = a√3.

• Апофема правильної піраміди: l = √(H² + r²), r — радіус вписаного кола основи.

🧠 Перевір себе

1. Об'єм кулі радіуса 3?

2. Циліндр R = 2, H = 5: бічна поверхня?

3. Конус R = 6, l = 10: висота?

4. Куб з ребром 2: діагональ?

Відповіді: 1 — (4/3)π·27 = 36π; 2 — 2π·2·5 = 20π; 3 — H = √(100−36) = 8; 4 — 2√3.