Планіметрія (за числовими даними): трикутники, чотирикутники, коло й круг, многокутники; периметри, площі, теорема Піфагора, теореми синусів і косинусів

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють уміння за числовими даними обчислювати сторони, кути, периметри й площі плоских фігур. Ключові інструменти — теорема Піфагора, теореми синусів і косинусів, формули площ і властивості кіл та многокутників. У завданнях високої складності треба комбінувати кілька формул.

📖 Головне

• Теорема Піфагора: у прямокутному трикутнику c² = a² + b², де c — гіпотенуза. Дає сторону за двома іншими.

• Теорема косинусів: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Працює для будь-якого трикутника; коли C = 90°, cos C = 0 і виходить Піфагор.

• Теорема синусів: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, де R — радіус описаного кола. Звʼязує сторони з протилежними кутами.

• Сума кутів трикутника = 180°, чотирикутника = 360°, n-кутника = 180°(n−2).

• Площа трикутника: S = ½·a·h (сторона на висоту); S = ½·a·b·sin C (дві сторони й кут між ними); S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)) — формула Герона, p = (a+b+c)/2.

• Площа через радіуси: S = a·b·c/(4R) (описане коло), S = p·r (r — радіус вписаного кола).

• Прямокутний трикутник: S = ½·(катет·катет); катети — це висоти один до одного.

• Паралелограм: S = a·h = a·b·sin α; діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

• Ромб: S = ½·d₁·d₂ (діагоналі перпендикулярні); усі сторони рівні.

• Трапеція: S = ½·(a+b)·h, де a, b — основи; середня лінія m = (a+b)/2.

• Прямокутник: S = a·b, діагональ d = √(a²+b²). Квадрат: S = a², d = a√2.

• Коло й круг: довжина кола C = 2πR, площа круга S = πR². Дуга: l = πR·α/180. Сектор: S = πR²·α/360.

• Вписаний кут дорівнює половині центрального, що спирається на ту саму дугу. Кут, що спирається на діаметр, = 90°.

• Рівносторонній трикутник зі стороною a: S = a²√3/4, висота h = a√3/2.

🔢 Як це працює на прикладі

Приклад 1. Трикутник зі сторонами a=13, b=14, c=15. Знайти площу.

p = (13+14+15)/2 = 21. S = √(21·8·7·6) = √7056 = 84.

Приклад 2. У трикутнику a=6, b=8, кут C=30°. Знайти c.

c² = 36 + 64 − 2·6·8·cos30° = 100 − 96·(√3/2) = 100 − 48√3 ≈ 100 − 83,1 = 16,9; c ≈ 4,1.

Площа тут S = ½·6·8·sin30° = ½·48·0,5 = 12.

⚠️ Типові помилки

• Застосовують Піфагор до непрямокутного трикутника — потрібна теорема косинусів.

• У формулі S = ½ab·sin C беруть не той кут: він має бути МІЖ сторонами a і b.

• Плутають радіус і діаметр у формулах кола (C = 2πR, а не πR).

• У трапеції множать півсуму основ на бічну сторону замість висоти.

• Забувають, що в ромбі площа через діагоналі, а не через сторону в квадраті.

• Неправильно рахують суму кутів: для n-кутника саме 180°(n−2).

🎯 Що завчити напамʼять

• c² = a² + b²; c² = a² + b² − 2ab·cos C; a/sin A = 2R.

• S трикутника: ½ah, ½ab·sinC, Герон, abc/4R, pr.

• S: паралелограм a·h, ромб ½d₁d₂, трапеція ½(a+b)h, круг πR².

• C = 2πR, сектор πR²α/360.

• Сума кутів n-кутника 180°(n−2); рівносторонній S = a²√3/4.

🧠 Перевір себе

1. Катети прямокутного трикутника 5 і 12. Гіпотенуза й площа?

2. Сторони трикутника 7, 8 і кут між ними 60°. Площа?

3. Діагоналі ромба 6 і 8. Площа й сторона?

4. Радіус кола 10. Довжина кола й площа круга (через π)?

Відповіді: 1 — c=13, S=30; 2 — S=½·7·8·sin60°=28·(√3/2)=14√3≈24,2; 3 — S=½·6·8=24, сторона=√(3²+4²)=5; 4 — C=20π, S=100π.