Рівняння та системи рівнянь: лінійні, квадратні, дробово-раціональні, ірраціональні; теорема Вієта

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють уміння розвʼязувати рівняння різних типів і системи, а також знаходити корені без прямого обчислення через теорему Вієта. Ключове поняття — корінь рівняння (число, яке перетворює рівність на правильну). У складних завданнях часто просять не самі корені, а вираз від них (суму, добуток, x₁²+x₂²).

📖 Головне

• Лінійне рівняння ax + b = 0: якщо a≠0, один корінь x = −b/a. Якщо a=0, b≠0 — коренів немає; якщо a=0, b=0 — безліч розвʼязків.

• Квадратне рівняння ax²+bx+c=0 (a≠0): дискримінант D = b²−4ac. Якщо D>0 — два корені x = (−b ± √D)/(2a); D=0 — один (подвійний); D<0 — дійсних коренів немає.

• Теорема Вієта для x²+px+q=0 (зведене, a=1): x₁+x₂ = −p, x₁·x₂ = q. Для загального ax²+bx+c=0: сума = −b/a, добуток = c/a.

• Корисні перетворення через Вієта: x₁²+x₂² = (x₁+x₂)² − 2x₁x₂; 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁+x₂)/(x₁x₂).

• Дробово-раціональні рівняння: спочатку ОДЗ (знаменник ≠ 0), потім зводимо до спільного знаменника, прирівнюємо чисельник до нуля. Корені, що не входять в ОДЗ, відкидаємо.

• Ірраціональні рівняння (зі знаком √): усамітнюємо корінь, підносимо до квадрата. Підкореневий вираз ≥ 0, а права частина після усамітнення теж ≥ 0. Обовʼязково перевіряємо корені підстановкою — виникають сторонні.

• Системи: метод підстановки (виражаємо одну змінну) або додавання (складаємо/віднімаємо рівняння). Лінійна система може мати один розвʼязок, жодного або безліч.

• Біквадратне a·x⁴+b·x²+c=0: заміна t=x², t≥0, розвʼязуємо квадратне, потім повертаємось до x.

🔢 Як це працює на прикладі

Приклад 1. x²−7x+10=0. За Вієтою: x₁+x₂=7, x₁x₂=10 → корені 2 і 5. Знайти x₁²+x₂² = 7²−2·10 = 49−20 = 29.

Приклад 2 (ірраціональне). √(x+6)=x. Підносимо: x+6=x² → x²−x−6=0 → x=3 або x=−2. Перевірка: права частина x має бути ≥0, тож x=−2 відпадає. Відповідь: x=3.

Приклад 3 (дробове). (x²−4)/(x−2)=5. ОДЗ: x≠2. Спрощуємо: (x−2)(x+2)/(x−2)=x+2=5 → x=3. Входить в ОДЗ, підходить.

⚠️ Типові помилки

• Забувають ОДЗ у дробових рівняннях і залишають корінь, що обертає знаменник у нуль.

• В ірраціональних не роблять перевірку — і беруть сторонній корінь.

• Плутають знаки у Вієті: сума = −b/a, а не b/a.

• У біквадратному після заміни забувають повернутись до x або беруть відʼємне t (t=x²≥0).

• При піднесенні до квадрата не враховують, що обидві частини мають бути невідʼємні.

🎯 Що завчити напамʼять

• D = b²−4ac і x = (−b ± √D)/(2a).

• Вієта: x₁+x₂ = −b/a, x₁·x₂ = c/a.

• x₁²+x₂² = (x₁+x₂)² − 2x₁x₂.

• Ірраціональне і дробове завжди вимагають перевірки/ОДЗ.

🧠 Перевір себе

1. Сума коренів рівняння x²−5x+6=0?

2. Скільки коренів має x²+4x+7=0?

3. Чи є x=−3 коренем √(x+7)=x−1?

4. Розвʼяжи x⁴−5x²+4=0.

Відповіді: 1 — 5; 2 — жодного (D=16−28<0); 3 — ні (права частина від'ємна, сторонній); 4 — x = ±1, ±2 (t=1, t=4).