Показникові й логарифмічні вирази: властивості степенів і логарифмів, обчислення значень

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють уміння спрощувати й обчислювати вирази зі степенями та логарифмами, застосовуючи їхні властивості. Ключові поняття: степінь з раціональним показником, логарифм числа за основою. У тестах це часто «чисте» обчислення значення виразу — одна арифметична помилка забирає бал.

📖 Головне

• Означення логарифма: log_a b = c означає a^c = b, де a>0, a≠1, b>0. Тобто логарифм — це показник степеня, у який треба піднести основу.

• Основна логарифмічна тотожність: a^(log_a b) = b.

• log_a 1 = 0, log_a a = 1, log_a a^k = k.

• Логарифм добутку: log_a (xy) = log_a x + log_a y.

• Логарифм частки: log_a (x/y) = log_a x − log_a y.

• Логарифм степеня: log_a (x^k) = k·log_a x. Показник виноситься множником.

• Перехід до нової основи: log_a b = log_c b / log_c a. Наслідок: log_a b = 1/log_b a.

• Десятковий логарифм lg = log_10, натуральний ln = log_e.

• Степінь із цілим від’ємним показником: a^(−n) = 1/a^n.

• Дробовий показник: a^(m/n) = ⁿ√(a^m). Наприклад a^(1/2) = √a.

• a^0 = 1 (a≠0).

• Множення степенів: a^m · a^n = a^(m+n); ділення: a^m / a^n = a^(m−n).

• Степінь степеня: (a^m)^n = a^(mn). Степінь добутку: (ab)^n = a^n·b^n.

• Корисно: a^(log_a b) розкриває основу, тому іноді число зводять до степеня тієї ж основи.

🔢 Як це працює на прикладі

Приклад 1. Обчислити log_2 24 − log_2 3.

За властивістю різниці: log_2 (24/3) = log_2 8 = log_2 2^3 = 3.

Приклад 2. Обчислити 9^(log_3 5).

Зводимо основу: 9 = 3^2, тому 9^(log_3 5) = (3^2)^(log_3 5) = 3^(2·log_3 5) = 3^(log_3 25) = 25.

Тут спершу виносимо 2 у показник як множник до логарифма, потім застосовуємо основну тотожність.

⚠️ Типові помилки

• Плутають log_a(x+y) з log_a x + log_a y — суми логарифм НЕ розкладається! Розкладається лише добуток.

• Пишуть (log_a x)^k = k·log_a x. Насправді множник виноситься тільки з log_a(x^k), а не зі степеня самого логарифма.

• Забувають область: логарифмувати можна лише додатні числа, основа >0 і ≠1.

• У переході до нової основи ставлять дроби навпаки: log_a b = log b / log a (аргумент зверху, основа знизу).

• У 9^(log_3 5) починають рахувати log_3 5 наближено замість зведення основ — губляться в округленнях.

🎯 Що завчити напамʼять

• a^(log_a b) = b (основна тотожність).

• log_a(xy)=log_a x+log_a y; log_a(x/y)=log_a x−log_a y; log_a(x^k)=k·log_a x.

• log_a b = log_c b / log_c a; log_a b = 1/log_b a.

• log_a 1=0, log_a a=1.

• a^(1/n)=ⁿ√a, a^(−n)=1/a^n.

🧠 Перевір себе

1) Обчисли log_5 100 − log_5 4.

2) Чому дорівнює 4^(log_2 3)?

3) Спрости: log_3 27 + log_2 (1/8).

4) Чому дорівнює log_8 2?

Відповіді: 1 — log_5 25 = 2; 2 — 4=2^2, отже 2^(2·log_2 3)=2^(log_2 9)=9; 3 — log_3 3^3 + log_2 2^(−3) = 3 + (−3) = 0; 4 — 1/3 (бо 8=2^3, log_8 2 = 1/log_2 8 = 1/3).