Показникові, логарифмічні та тригонометричні рівняння; відбір коренів

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють уміння розвʼязувати показникові, логарифмічні й тригонометричні рівняння та правильно відбирати корені (з проміжку, з урахуванням області допустимих значень). Ключове: звести рівняння до простого вигляду через властивості степенів, логарифмів і формул тригонометрії.

📖 Головне

• Показникове рівняння: якщо a^f(x) = a^g(x) (a>0, a≠1), то f(x) = g(x). Показникова функція завжди додатна, тому a^x = від'ємне число коренів не має.

• Заміна в показникових: рівняння виду 4^x − 3·2^x − 4 = 0 зводять до t = 2^x, t>0. Корінь t≤0 відкидають.

• Логарифм: log_a b = c означає a^c = b (a>0, a≠1, b>0). ОДЗ — обов'язкова: під логарифмом лише додатне, основа >0 і ≠1.

• Якщо log_a f(x) = log_a g(x), то f(x) = g(x) РАЗОМ з умовою f(x)>0 (і g(x)>0).

• Властивості: log_a(xy)=log_a x+log_a y; log_a(x/y)=log_a x−log_a y; log_a x^n=n·log_a x; перехід log_a b = ln b/ln a.

• sin x = a має корені лише при |a|≤1: x = (−1)^n·arcsin a + πn, n∈Z.

• cos x = a (|a|≤1): x = ±arccos a + 2πn, n∈Z.

• tg x = a (будь-яке a): x = arctg a + πn, n∈Z.

• Часткові: sin x=0 → x=πn; cos x=0 → x=π/2+πn; sin x=1 → x=π/2+2πn; cos x=1 → x=2πn.

• Відбір коренів з проміжку: підставляй цілі n у формулу й перевіряй, чи потрапляє в заданий відрізок.

🔢 Як це працює на прикладі

Приклад 1 (показникове). 9^x − 4·3^x + 3 = 0. Заміна t=3^x, t>0: t²−4t+3=0 → t=1 або t=3. Тоді 3^x=1 → x=0; 3^x=3 → x=1. Відповідь: 0 і 1.

Приклад 2 (тригонометричне з відбором). cos x = 1/2 на [0; 2π]. Загальний розв'язок: x=±π/3+2πn. Беремо n=0: x=π/3 і x=−π/3. −π/3 не в [0;2π], беремо замість нього x=2π−π/3=5π/3. Корені: π/3 і 5π/3.

⚠️ Типові помилки

• Забувають ОДЗ у логарифмах — знаходять «корінь», який робить вираз під логарифмом ≤0.

• Пишуть 2^x = −4 і шукають корінь, хоча показникова функція завжди >0.

• У cos x=a пишуть корінь без ±, втрачаючи половину коренів.

• Плутають формули: для sin — (−1)^n·arcsin a+πn, для cos — ±arccos a+2πn; часто ставлять не той період.

• При відборі коренів беруть лише n=0 і не перевіряють сусідні цілі n.

🎯 Що завчити напамʼять

• sin x=a: (−1)^n arcsin a+πn; cos x=a: ±arccos a+2πn; tg x=a: arctg a+πn.

• Часткові значення: sin=0,±1; cos=0,±1 та їх розв'язки.

• log_a b=c ⇔ a^c=b; ОДЗ логарифма: аргумент>0, основа>0 і ≠1.

• Табличні: arcsin(1/2)=π/6, arccos(1/2)=π/3, arctg 1=π/4, arccos 0=π/2.

🧠 Перевір себе

1. Розв'яжи 2^(x+1)=8.

2. Знайди ОДЗ рівняння log_3(x−2)=1 і його корінь.

3. Скільки коренів має sin x=2?

4. Знайди корені cos x=0 на [0; 2π].

Відповіді: 1 — x+1=3, x=2; 2 — ОДЗ x>2, x−2=3, x=5; 3 — жодного (|2|>1); 4 — π/2 і 3π/2.