Похідна та її застосування: правила диференціювання, рівняння дотичної, екстремуми, найбільше/найменше значення функції

📌 Про що ця тема

Похідна показує швидкість зміни функції та кутовий коефіцієнт дотичної. На іспиті перевіряють уміння знаходити похідну, будувати рівняння дотичної, шукати екстремуми та найбільше/найменше значення функції на відрізку. Ключове поняття — похідна f′(x) як границя й геометричний зміст (тангенс кута нахилу).

📖 Головне

• Геометричний зміст: f′(x₀) = tg α = k — кутовий коефіцієнт дотичної в точці x₀.

• Фізичний зміст: якщо s(t) — координата, то s′(t) — швидкість, s″(t) — прискорення.

• Похідні основних функцій: (C)′=0; (xⁿ)′=n·xⁿ⁻¹; (√x)′=1/(2√x); (sin x)′=cos x; (cos x)′=−sin x; (tg x)′=1/cos²x; (eˣ)′=eˣ; (aˣ)′=aˣ·ln a; (ln x)′=1/x; (logₐx)′=1/(x·ln a).

• Правила: (u±v)′=u′±v′; (Cu)′=Cu′; (uv)′=u′v+uv′; (u/v)′=(u′v−uv′)/v².

• Складна функція: (f(g(x)))′ = f′(g)·g′(x). Напр. (sin 5x)′=5cos5x.

• Рівняння дотичної в точці x₀: y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀).

• Критичні точки — там, де f′(x)=0 або f′ не існує.

• Достатня ознака екстремуму: якщо f′ змінює знак з «+» на «−» — максимум; з «−» на «+» — мінімум.

• Зростання: f′(x)>0; спадання: f′(x)<0 на проміжку.

• Найбільше/найменше на відрізку [a;b]: обчислити f у критичних точках всередині відрізка та на кінцях a і b; вибрати max/min серед цих значень.

🔢 Як це працює на прикладі

Приклад 1. Дотична до f(x)=x²−3x у точці x₀=2.

f(2)=4−6=−2. f′(x)=2x−3, f′(2)=1. Рівняння: y=−2+1·(x−2)=x−4.

Приклад 2. Найбільше значення f(x)=x³−3x на [0;2].

f′(x)=3x²−3=0 → x=±1. На [0;2] лишається x=1.

f(0)=0; f(1)=1−3=−2; f(2)=8−6=2. Найбільше = 2 (у точці x=2).

⚠️ Типові помилки

• Плутають похідну добутку з добутком похідних: (uv)′ ≠ u′v′.

• У складній функції забувають множник g′(x): (cos3x)′=−3sin3x, а не −sin3x.

• Для дотичної підставляють f′(x₀) замість f(x₀) у вільний член (або навпаки).

• На відрізку рахують лише критичні точки й забувають перевірити кінці a і b.

• Беруть критичну точку за максимум без перевірки знака похідної — і плутають max з min.

• Помилки зі знаком: (cos x)′=−sin x (мінус!), (1/x)′=−1/x².

🎯 Що завчити напамʼять

• Таблицю похідних (усі функції вище).

• Чотири правила диференціювання + похідну складної функції.

• Рівняння дотичної: y = f(x₀)+f′(x₀)(x−x₀).

• Алгоритм найб./найм. на відрізку: критичні точки + кінці.

• f′>0 — зростає, f′<0 — спадає; зміна знака f′ дає екстремум.

🧠 Перевір себе

1. Знайди f′(x), якщо f(x)=x⁴−2x²+5.

2. Обчисли кутовий коефіцієнт дотичної до f(x)=√x у точці x₀=4.

3. Знайди точки екстремуму f(x)=x³−12x.

4. Найменше значення f(x)=x²+4x на [−3;1]?

Відповіді: 1— f′(x)=4x³−4x; 2— f′(4)=1/(2√4)=1/4; 3— f′=3x²−12=0 → x=−2 (max), x=2 (min); 4— f′=2x+4=0 → x=−2, f(−2)=−4 (найменше), бо f(−3)=−3, f(1)=5.