Числові послідовності та прогресії: арифметична й геометрична прогресії, їх суми й члени

# Числові послідовності та прогресії

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють уміння працювати з арифметичною і геометричною прогресіями: знаходити будь-який член, суму перших n членів, різницю чи знаменник. Ключові поняття — різниця d (арифметична) і знаменник q (геометрична). На НМТ це один з найстабільніших типів завдань: формул небагато, головне не переплутати їх.

📖 Головне

• Числова послідовність — це числа, розставлені в певному порядку: a₁, a₂, a₃, … Кожне має свій номер (індекс).

• Арифметична прогресія — кожен наступний член дорівнює попередньому плюс стала різниця d. Тобто aₙ₊₁ = aₙ + d.

• n-й член арифметичної: aₙ = a₁ + (n−1)·d. Це головна формула — з неї виводиться майже все.

• Різниця арифметичної: d = aₙ₊₁ − aₙ (різниця будь-яких двох сусідніх членів).

• Сума перших n членів арифметичної: Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n, або Sₙ = (2a₁ + (n−1)d)/2 · n.

• Характеристична властивість арифметичної: кожен член (крім крайніх) — середнє арифметичне сусідів: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2.

• Геометрична прогресія — кожен наступний член дорівнює попередньому, помноженому на сталий знаменник q (q ≠ 0). Тобто bₙ₊₁ = bₙ·q.

• n-й член геометричної: bₙ = b₁·q^(n−1).

• Знаменник геометричної: q = bₙ₊₁ / bₙ (відношення сусідніх членів).

• Сума перших n членів геометричної (q ≠ 1): Sₙ = b₁·(qⁿ − 1)/(q − 1).

• Характеристична властивість геометричної: bₙ² = bₙ₋₁·bₙ₊₁ (квадрат члена = добуток сусідів).

• Сума нескінченної геометричної при |q| < 1: S = b₁/(1 − q). Застосовна лише коли модуль знаменника менший за одиницю.

🔢 Як це працює на прикладі

Приклад 1 (арифметична). Дано a₁ = 3, d = 4. Знайти a₁₀ і S₁₀.

• a₁₀ = a₁ + (10−1)·d = 3 + 9·4 = 3 + 36 = 39.

• S₁₀ = (a₁ + a₁₀)/2 · 10 = (3 + 39)/2 · 10 = 21·10 = 210.

Приклад 2 (геометрична). Дано b₁ = 2, q = 3. Знайти b₅ і S₅.

• b₅ = b₁·q⁴ = 2·81 = 162.

• S₅ = b₁·(q⁵ − 1)/(q − 1) = 2·(243 − 1)/(3 − 1) = 2·242/2 = 242.

⚠️ Типові помилки

• У формулі aₙ пишуть (n−1)·d, а підставляють просто n — тобто беруть на один крок більше. Перевіряй: у a₁ множник (n−1) = 0.

• Плутають формули: у геометричній ставлять q^(n−1), а не q^n. Степінь на одиницю менший за номер.

• У Sₙ геометричної забувають дужки: ділиться (qⁿ − 1) на (q − 1), а не qⁿ − 1/(q−1).

• Застосовують S = b₁/(1−q) при |q| ≥ 1 — так робити не можна, сума нескінченна.

• Плутають d і q: у арифметичній додають, у геометричній множать.

🎯 Що завчити напамʼять

• aₙ = a₁ + (n−1)d

• Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n

• bₙ = b₁·q^(n−1)

• Sₙ = b₁·(qⁿ − 1)/(q − 1)

• S∞ = b₁/(1 − q) при |q| < 1

• Властивості: aₙ = (aₙ₋₁+aₙ₊₁)/2 та bₙ² = bₙ₋₁·bₙ₊₁

🧠 Перевір себе

1. В арифметичній a₁ = 5, d = 3. Знайдіть a₇.

2. Знайдіть суму перших 4 членів геометричної з b₁ = 1, q = 2.

3. Чому дорівнює d, якщо a₃ = 10, a₅ = 16?

4. Чи має суму нескінченна геометрична з q = 2?

Відповіді: 1 — a₇ = 5 + 6·3 = 23; 2 — S₄ = 1·(16−1)/(2−1) = 15; 3 — d = (16−10)/2 = 3; 4 — ні, бо |q| = 2 ≥ 1.