Первісна та визначений інтеграл; обчислення площі криволінійної трапеції

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють уміння знаходити первісну функції, застосовувати таблицю первісних і формулу Ньютона–Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла, а також рахувати площу криволінійної трапеції. Ключове поняття — первісна: функція F, похідна якої дає задану f.

📖 Головне

• Первісна F(x) для f(x) — це така функція, що F′(x) = f(x). Загальний вигляд первісної: F(x) + C, де C — довільна стала.

• Таблиця первісних (навпаки до похідних):

– для x^n: первісна x^(n+1)/(n+1) + C, при n ≠ −1

– для 1/x: первісна ln|x| + C

– для sin x: первісна −cos x + C

– для cos x: первісна sin x + C

– для 1/cos²x: первісна tg x + C

– для e^x: первісна e^x + C

• Правила: первісна суми = сума первісних; сталий множник виноситься (первісна від k·f = k·F).

• Визначений інтеграл — формула Ньютона–Лейбніца: ∫ від a до b f(x)dx = F(b) − F(a), де F — будь-яка первісна f.

• Властивості інтеграла: ∫(f+g) = ∫f + ∫g; сталу виносимо; ∫ від a до b = −∫ від b до a; ∫ від a до a = 0.

• Площа криволінійної трапеції, обмеженої графіком f(x) ≥ 0, віссю Ox та прямими x=a, x=b: S = ∫ від a до b f(x)dx.

• Якщо фігура між двома кривими f(x) (верхня) і g(x) (нижня): S = ∫ від a до b (f(x) − g(x))dx. Межі a, b — абсциси точок перетину.

• Площа завжди додатна: якщо графік нижче осі Ox, інтеграл виходить відʼємним — площа береться за модулем.

🔢 Як це працює на прикладі

Приклад 1. Обчислити ∫ від 0 до 2 (3x² + 2)dx.

Первісна: F(x) = x³ + 2x. За Ньютоном–Лейбніцом: F(2) − F(0) = (8 + 4) − 0 = 12.

Приклад 2. Знайти площу фігури, обмеженої параболою y = 4 − x² та віссю Ox.

Точки перетину з Ox: 4 − x² = 0 → x = ±2. На проміжку графік вище осі.

S = ∫ від −2 до 2 (4 − x²)dx. Первісна: 4x − x³/3.

У точці 2: 8 − 8/3 = 16/3. У точці −2: −8 + 8/3 = −16/3.

S = 16/3 − (−16/3) = 32/3.

⚠️ Типові помилки

• Забувають +C при знаходженні первісної (у визначеному інтегралі вона зникає, але в завданнях «знайти первісну» без C відповідь неповна).

• Плутають первісну й похідну: для x² первісна x³/3, а не 2x.

• Для 1/x пишуть степеневу формулу — вона тут не працює (n = −1), правильно ln|x|.

• Неправильно знаходять межі: не розвʼязують рівняння перетину графіків, беруть навмання.

• Отримують відʼємну площу і залишають так — площа має бути додатною, треба модуль або правильний порядок «верхня мінус нижня».

🎯 Що завчити напамʼять

• Формулу Ньютона–Лейбніца: ∫ від a до b f = F(b) − F(a).

• Таблицю первісних (степінь, 1/x, sin, cos, e^x).

• Степеневу: x^(n+1)/(n+1) + C.

• S = ∫(верхня − нижня)dx; межі — з точок перетину.

🧠 Перевір себе

1. Яка первісна функції f(x) = cos x?

2. Обчисли ∫ від 1 до 3 2x dx.

3. Чому дорівнює ∫ від a до a f(x)dx?

4. Як знайти межі інтегрування для площі між двома кривими?

Відповіді: 1 — sin x + C; 2 — F(x)=x², 9−1=8; 3 — нулю; 4 — прирівняти функції f(x)=g(x) і розвʼязати рівняння, корені й будуть межами a та b.