Алгебраїчні вирази: степені з цілим і раціональним показником, корені, формули скороченого множення, перетворення й спрощення виразів

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють уміння спрощувати алгебраїчні вирази: працювати зі степенями (цілими й дробовими), коренями, розкладати й згортати вирази за формулами скороченого множення. Ключове — правильно застосувати властивості степенів і не наробити помилок зі знаками. Такі завдання майже завжди є в тесті й дають «легкі» бали, якщо знаєш правила.

📖 Головне

• Степінь з натуральним показником: aⁿ = a·a·…·a (n разів). a¹ = a, a⁰ = 1 (при a ≠ 0).

• Від'ємний показник: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Тобто степінь «переносить» множник з чисельника в знаменник і навпаки.

• Множення степенів з однаковою основою: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (показники додають).

• Ділення: aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (показники віднімають).

• Степінь степеня: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ (показники множать).

• Степінь добутку/частки: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ; (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ.

• Дробовий показник: a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ (при a ≥ 0). Наприклад, a^(1/2) = √a.

• Корінь: ⁿ√a — число, n-й степінь якого дорівнює a. √(a²) = |a| (важливо: модуль!).

• Властивості коренів: √a·√b = √(ab); √a/√b = √(a/b); ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n).

• Формули скороченого множення:

– (a ± b)² = a² ± 2ab + b²

– a² − b² = (a − b)(a + b)

– (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³

– a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²)

• Спрощення дробів: скорочуй чисельник і знаменник на спільний множник, який знаходять розкладанням на множники.

🔢 Як це працює на прикладі

Приклад 1. Спростити (a² − 9)/(a + 3).

Чисельник за формулою різниці квадратів: a² − 9 = (a − 3)(a + 3).

Отже (a − 3)(a + 3)/(a + 3) = a − 3.

Приклад 2. Обчислити 27^(2/3) · 4^(−1/2).

27^(2/3) = (³√27)² = 3² = 9.

4^(−1/2) = 1/√4 = 1/2.

Разом: 9 · 1/2 = 4,5.

⚠️ Типові помилки

• Пишуть √(a²) = a замість |a| — втрачають знак при від'ємному a.

• Плутають (a + b)² з a² + b², забуваючи подвоєний добуток 2ab.

• При від'ємному показнику «забирають» знак числа (a⁻² ≠ −a²): степінь впливає на дріб, а не на знак.

• Множать показники замість додавання при aᵐ·aⁿ (і навпаки).

• У формулі a³ − b³ плутають знак середнього члена: там (a² + ab + b²), а не мінус.

• Скорочують дріб «через додавання»: у (a + b)/a не можна скоротити a — скорочують лише множники.

🎯 Що завчити напамʼять

• Усі формули скороченого множення (квадрати, різниця квадратів, куби, сума/різниця кубів).

• Властивості степенів: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ; a⁻ⁿ = 1/aⁿ; a⁰ = 1.

• a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) і √(a²) = |a|.

🧠 Перевір себе

1. Спростіть (x² − 4)/(x − 2).

2. Обчисліть 16^(3/4).

3. Розкладіть на множники: a³ + 8.

4. Спростіть (2a²b)³/(4a³b²).

Відповіді: 1 — x + 2; 2 — 8; 3 — (a + 2)(a² − 2a + 4); 4 — 2a³b (бо 8a⁶b³/4a³b² = 2a³b).