Числа, відсотки, пропорції, модуль; дії з раціональними та дійсними числами; прикладні й текстові задачі (відсотки, рух, робота, суміші)

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють базову обчислювальну культуру: дії з дробами й степенями, знаходження відсотка та частини від числа, складання пропорцій і розвʼязання текстових задач на рух, роботу й суміші. Ключові поняття: відсоток, пропорція, модуль числа. Це фундамент, на якому тримається половина тестових завдань.

📖 Головне

• Відсоток — це сота частина числа: 1% = 0,01. Щоб знайти p% від числа a: a · p / 100.

• Число a становить p% від b, якщо a = b · p/100. Звідси b = a · 100 / p (знаходження цілого за частиною).

• Зміна на p%: збільшення — множимо на (1 + p/100), зменшення — на (1 − p/100).

• На скільки % змінилось: (нове − старе)/старе · 100%.

• Пропорція a/b = c/d. Основна властивість: a·d = b·c (добуток крайніх = добуток середніх).

• Пряма пропорційність: більше одного → більше іншого (y = kx). Обернена: більше одного → менше іншого (x·y = const).

• Модуль |a| — відстань до нуля: |a| = a, якщо a ≥ 0; |a| = −a, якщо a < 0. Завжди |a| ≥ 0.

• Рух: S = v·t. При зустрічному русі швидкості додаються, при русі навздогін — віднімаються. За течією v+u, проти течії v−u.

• Робота: A = P·t (продуктивність × час). Спільна робота: продуктивності додаються.

• Суміші й сплави: маса речовини = маса розчину · концентрація (частка). Речовини складають, загальну масу теж.

• Порядок дій: спочатку дужки та степені, потім × і ÷, потім + і −.

🔢 Як це працює на прикладі

Приклад 1 (відсотки). Товар коштував 800 грн, ціну знизили на 15%. Нова ціна?

800 · (1 − 0,15) = 800 · 0,85 = 680 грн.

Приклад 2 (суміші). Скільки грамів солі в 250 г 12%-го розчину?

250 · 0,12 = 30 г солі.

Приклад 3 (рух). З двох міст назустріч виїхали авто зі швидкостями 60 і 80 км/год, відстань 280 км. Через скільки годин зустрінуться?

Швидкість зближення 60 + 80 = 140. Час = 280 / 140 = 2 год.

⚠️ Типові помилки

• Плутають «на скільки відсотків» і «у скільки разів»: зростання на 100% = у 2 рази.

• Знижку й націнку рахують від різних баз: після знижки 20% і націнки 20% ціна НЕ повертається (0,8·1,2 = 0,96).

• Забувають, що |a| = −a при a < 0 сприймають як «завжди мінус» — насправді результат додатний.

• У задачах на рух за/проти течії забувають, що швидкість човна і течії додаються або віднімаються.

• Плутають пряму й обернену пропорційність (наприклад, більше робітників → менше часу — це обернена).

🎯 Що завчити напамʼять

• p% від a = a·p/100; ціле за частиною b = a·100/p.

• Множники змін: ×(1+p/100) і ×(1−p/100).

• Основна властивість пропорції: a·d = b·c.

• S = v·t; A = P·t; за течією v+u, проти v−u.

• |a| ≥ 0 завжди; концентрація = частка речовини в суміші.

🧠 Перевір себе

1. Число 45 — це скільки відсотків від 180?

2. Обчисли |−7| + |3 − 10|.

3. За течією човен пливе 18 км/год, швидкість течії 3 км/год. Швидкість у стоячій воді?

4. 6 робітників виконують роботу за 8 днів. За скільки днів її виконають 4 робітники (та сама продуктивність)?

Відповіді: 1 — 25%; 2 — 7 + 7 = 14; 3 — 18 − 3 = 15 км/год; 4 — обернена пропорція, 6·8 = 4·x, x = 12 днів.