Закони збереження в механіці: імпульс тіла й закон збереження імпульсу; робота, потужність, механічна енергія та її збереження

# Закони збереження в механіці

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють уміння застосовувати два фундаментальні закони: збереження імпульсу (для зіткнень, розривів, віддачі) і збереження механічної енергії (для рухів у полі тяжіння, пружин, падінь). Ключові поняття — імпульс, робота, потужність, кінетична й потенціальна енергія. На складних завданнях їх часто поєднують.

📖 Головне

• Імпульс тіла: p = m·v. Векторна величина, напрямлена як швидкість. Одиниця — кг·м/с.

• Зміна імпульсу: Δp = F·Δt (імпульс сили дорівнює зміні імпульсу тіла).

• Закон збереження імпульсу: у замкненій системі векторна сума імпульсів сталася. m₁v₁ + m₂v₂ = m₁u₁ + m₂u₂ (як вектори!).

• Реактивний рух і віддача: до пострілу сумарний імпульс = 0, тому після — теж 0.

• Робота: A = F·s·cos α, де α — кут між силою і переміщенням. Одиниця — джоуль (Дж).

• Якщо α = 90°, робота дорівнює нулю (сила перпендикулярна руху).

• Потужність: P = A/t = F·v (при русі зі сталою швидкістю вздовж сили).

• Кінетична енергія: Ek = m·v²/2. Теорема: A = ΔEk (робота всіх сил = зміна кінетичної енергії).

• Потенціальна енергія тяжіння: Ep = m·g·h (від обраного рівня відліку).

• Потенціальна енергія пружини: Ep = k·x²/2.

• Повна механічна енергія: E = Ek + Ep.

• Закон збереження механічної енергії: якщо діють лише консервативні сили (тяжіння, пружність), E = const.

• За наявності тертя частина енергії переходить у тепло: Ek₁ + Ep₁ = Ek₂ + Ep₂ + Q, де Q = Fтер·s.

• Пружний удар — зберігається і імпульс, і кінетична енергія. Непружний — лише імпульс (частина Ek втрачається).

🔢 Як це працює на прикладі

Приклад 1 (непружний удар). Візок m₁ = 2 кг рухається зі швидкістю 3 м/с і зчіплюється з нерухомим m₂ = 1 кг. Знайти спільну швидкість.

Імпульс: m₁v₁ = (m₁+m₂)·u → 2·3 = 3·u → u = 2 м/с.

Приклад 2 (збереження енергії). Тіло падає без опору з висоти h = 5 м. Знайти швидкість біля землі.

mgh = mv²/2 → v = √(2gh) = √(2·10·5) = √100 = 10 м/с.

⚠️ Типові помилки

• Додають імпульси як числа, ігноруючи напрямок. Якщо тіла рухаються назустріч — один імпульс зі знаком мінус.

• Плутають пружний і непружний удар: при злипанні тіл Ek НЕ зберігається, тільки імпульс.

• У формулі роботи забувають cos α, або беруть повну силу замість її проекції.

• Рахують енергію з тертям як таку, що зберігається — насправді частина йде в Q = Fтер·s.

• Плутають масу й вагу; g = 9,8 (беруть 10) м/с², не одиниця.

🎯 Що завчити напамʼять

• p = m·v; Δp = F·Δt

• A = F·s·cos α; P = A/t = F·v

• Ek = mv²/2; Ep = mgh; Eпруж = kx²/2

• v = √(2gh) для вільного падіння

• Закон збереження імпульсу — векторно; енергія зберігається лише без тертя.

🧠 Перевір себе

1. Куля масою 10 г вилітає зі швидкістю 500 м/с з рушниці 5 кг. Швидкість віддачі?

2. Яка робота сили тяжіння при горизонтальному русі тіла?

3. При якому ударі зберігається кінетична енергія?

4. Тіло кинули вгору з v = 20 м/с. На яку висоту підніметься (g=10)?

Відповіді: 1 — 1 м/с (0,01·500 = 5·u); 2 — нуль (сила ⊥ переміщенню); 3 — при абсолютно пружному; 4 — h = v²/2g = 400/20 = 20 м.