Механічні коливання і хвилі: математичний і пружинний маятники, період і частота, довжина хвилі, звук

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють, чи вмієш описувати гармонічні коливання: знаходити період і частоту математичного та пружинного маятників, звʼязувати параметри хвилі (довжина, швидкість, частота) і розуміти природу звуку. Ключове поняття — періодичний рух і величини, що його характеризують.

📖 Головне

• Коливання — рух, що повторюється в часі. Гармонічні коливання описуються за законом синуса/косинуса.

• Період T — час одного повного коливання (с). Частота ν = 1/T — кількість коливань за секунду (Гц).

• Циклічна частота ω = 2π/T = 2πν.

• Амплітуда A — максимальне відхилення від положення рівноваги.

• Математичний маятник — точкова маса на невагомій нерозтяжній нитці. Період: T = 2π·√(l/g), де l — довжина нитки, g — прискорення вільного падіння. Період НЕ залежить від маси й амплітуди (при малих кутах).

• Пружинний маятник — тіло на пружині. Період: T = 2π·√(m/k), де m — маса, k — жорсткість пружини. НЕ залежить від g, тому однаковий на Землі й у космосі.

• Хвиля — поширення коливань у просторі. Довжина хвилі λ — відстань між найближчими точками, що коливаються однаково (гребінь–гребінь).

• Основна формула: λ = v·T = v/ν, де v — швидкість хвилі.

• Хвилі бувають поперечні (коливання ⊥ до напрямку поширення, напр. на струні) і поздовжні (коливання вздовж напрямку, напр. звук у повітрі).

• Звук — поздовжня механічна хвиля. Потребує середовища, у вакуумі не поширюється.

• Швидкість звуку в повітрі ≈ 340 м/с; у рідинах і твердих тілах більша.

• Чутний діапазон частот: приблизно 20 Гц – 20000 Гц. Нижче — інфразвук, вище — ультразвук.

• Висота тону визначається частотою, гучність — амплітудою.

🔢 Як це працює на прикладі

Приклад 1. Знайти довжину математичного маятника з періодом T = 2 с (g = 10 м/с²).

З T = 2π·√(l/g) → l = g·T²/(4π²) = 10·4/(4·9,87) ≈ 40/39,5 ≈ 1,01 м.

Приклад 2. Джерело звуку створює хвилю частотою ν = 170 Гц, швидкість звуку 340 м/с. Знайти λ.

λ = v/ν = 340/170 = 2 м.

⚠️ Типові помилки

• Плутають формули маятників: у математичного під коренем l/g, у пружинного m/k. Запамʼятай: пружина «любить масу і жорсткість».

• Вважають, що період математичного маятника залежить від маси — НЕ залежить.

• Плутають частоту й період: ν = 1/T, а не ν = T.

• Забувають квадрат при виведенні l: із T = 2π√(l/g) треба піднести до квадрата обидві частини.

• Думають, що звук поширюється у вакуумі — ні, потрібне середовище.

• Плутають поздовжні й поперечні хвилі: звук у повітрі — завжди поздовжня.

🎯 Що завчити напамʼять

• T = 2π·√(l/g) — математичний маятник.

• T = 2π·√(m/k) — пружинний маятник.

• ν = 1/T, ω = 2πν.

• λ = v·T = v/ν.

• Швидкість звуку в повітрі ≈ 340 м/с.

• Чутний діапазон 20 Гц – 20 кГц.

🧠 Перевір себе

1. Як зміниться період математичного маятника, якщо довжину збільшити в 4 рази?

2. Від чого залежить період пружинного маятника?

3. Хвиля має швидкість 300 м/с і частоту 150 Гц. Яка довжина хвилі?

4. Який тип хвилі — звук у повітрі?

Відповіді: 1 — збільшиться у 2 рази (√4 = 2); 2 — від маси тіла й жорсткості пружини (T = 2π√(m/k)), не залежить від g; 3 — λ = 300/150 = 2 м; 4 — поздовжня.