Обчислення визначених інтегралів (прямокутники, трапеції); похибка

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють уміння обчислювати визначений інтеграл НАБЛИЖЕНО — коли первісну знайти важко чи неможливо, а треба лише число. Ключова ідея: площу під кривою ділять на вузькі смужки й додають їхні площі. Основні методи — прямокутників і трапецій; окремо оцінюють похибку.

📖 Головне

• Визначений інтеграл ∫(a→b) f(x) dx = площа під графіком f(x) на відрізку [a; b]. Чисельні методи шукають цю площу наближено.

• Відрізок [a; b] ділять на n рівних частин. Крок h = (b − a)/n. Точки: x₀=a, x₁=a+h, …, xₙ=b.

• Метод лівих прямокутників: висота кожної смужки = значення функції в ЛІВОМУ краю. S ≈ h·(f(x₀)+f(x₁)+…+f(xₙ₋₁)).

• Метод правих прямокутників: беруть ПРАВИЙ край. S ≈ h·(f(x₁)+f(x₂)+…+f(xₙ)).

• Метод середніх прямокутників: висота = значення в середині смужки. S ≈ h·Σ f(xᵢ + h/2). Точніший за лівий/правий.

• Метод трапеційeach смужку замінюють трапецією: S ≈ h·( (f(x₀)+f(xₙ))/2 + f(x₁)+f(x₂)+…+f(xₙ₋₁) ). Тобто крайні значення беруть з коефіцієнтом ½, внутрішні — повністю.

• Чим більше n (менше h) — тим точніший результат, але більше обчислень.

• Похибка прямокутників (лівих/правих) спадає пропорційно h, тобто ~1/n.

• Похибка трапецій спадає пропорційно h², тобто ~1/n² — трапеції точніші за ту саму кількість відрізків.

• Практична оцінка похибки (правило Рунге): рахують інтеграл для n і для 2n відрізків; різниця результатів показує порядок похибки.

🔢 Як це працює на прикладі

Обчислимо ∫(0→1) x² dx методом трапецій, n = 4. Точне значення = 1/3 ≈ 0,3333.

Крок h = (1−0)/4 = 0,25.

Точки й значення f(x)=x²:

x₀=0 → 0; x₁=0,25 → 0,0625; x₂=0,5 → 0,25; x₃=0,75 → 0,5625; x₄=1 → 1.

S ≈ 0,25·( (0+1)/2 + 0,0625 + 0,25 + 0,5625 ) = 0,25·(0,5 + 0,875) = 0,25·1,375 = 0,34375.

Похибка ≈ 0,0104 — дуже близько до 1/3.

Для порівняння лівими прямокутниками: S ≈ 0,25·(0+0,0625+0,25+0,5625)=0,21875 — помітно гірше.

⚠️ Типові помилки

• Забувають поділити крайні значення навпіл у методі трапецій — тоді формула перетворюється на прямокутники.

• Плутають ліві й праві прямокутники: у лівих сума БЕЗ f(xₙ), у правих — БЕЗ f(x₀).

• Неправильно рахують крок: h = (b−a)/n, а не (b−a)/(n+1); точок завжди n+1, смужок n.

• Думають, що більше n завжди «безкоштовно»: зростає кількість обчислень, а при дуже малому h можлива втрата точності через округлення.

• Забувають: похибка трапецій ~h² (швидко спадає), прямокутників ~h (повільно) — це часто питають напряму.

🎯 Що завчити напамʼять

• h = (b − a)/n; смужок n, вузлів n+1.

• Трапеції: S ≈ h·((f(a)+f(b))/2 + сума внутрішніх значень).

• Прямокутники: S ≈ h·(сума значень у лівих/правих/середніх точках).

• Похибка: прямокутники ~h (~1/n), трапеції ~h² (~1/n²).

• Збільшення n удвічі зменшує похибку трапецій приблизно вчетверо.

🧠 Перевір себе

1. Чому дорівнює крок h для ∫(2→6) на 8 відрізків?

2. Який метод точніший за однакового n — прямокутників чи трапецій?

3. У скільки разів зменшиться похибка трапецій, якщо n збільшити вдвічі?

4. Скільки вузлів буде при n = 5 смужках?

Відповіді: 1 — h=(6−2)/8=0,5; 2 — трапецій (похибка ~h²); 3 — приблизно вчетверо; 4 — 6 вузлів (n+1).