Функції багатьох змінних; частинні похідні; екстремум

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють уміння працювати з функціями від двох (і більше) змінних: знаходити частинні похідні та досліджувати функцію на екстремум (максимум/мінімум). Ключове поняття — частинна похідна, тобто похідна функції по одній змінній, коли решту вважають сталими.

📖 Головне

• Функція багатьох змінних z = f(x, y) ставить кожній парі чисел (x, y) у відповідність одне число z. Графік — поверхня у просторі.

• Частинна похідна по x (позначення ∂z/∂x або f′ₓ) — похідна f за x, при цьому y вважаємо константою. Аналогічно ∂z/∂y: диференціюємо по y, x — стала.

• Правила ті самі, що для звичайних похідних: (x²)′=2x, (sin x)′=cos x, добуток, частка, складна функція.

• Частинні похідні другого порядку: f″ₓₓ (двічі по x), f″ᵧᵧ (двічі по y), мішана f″ₓᵧ (спершу по x, потім по y). Зазвичай f″ₓᵧ = f″ᵧₓ.

• Критична (стаціонарна) точка — де обидві перші похідні дорівнюють нулю: f′ₓ=0 і f′ᵧ=0. Саме в них можливий екстремум.

• Достатня умова (критерій через другі похідні). Обчислюють у критичній точці: A = f″ₓₓ, B = f″ₓᵧ, C = f″ᵧᵧ, та визначник D = A·C − B².

• Якщо D > 0 і A > 0 — мінімум; D > 0 і A < 0 — максимум.

• Якщо D < 0 — екстремуму немає (сідлова точка).

• Якщо D = 0 — критерій не працює, потрібне додаткове дослідження.

🔢 Як це працює на прикладі

Дослідити z = x² + y² − 4x − 6y + 5.

1) Частинні похідні: f′ₓ = 2x − 4; f′ᵧ = 2y − 6.

2) Прирівнюємо до нуля: 2x−4=0 ⇒ x=2; 2y−6=0 ⇒ y=3. Критична точка (2; 3).

3) Другі похідні: A = f″ₓₓ = 2; C = f″ᵧᵧ = 2; B = f″ₓᵧ = 0.

4) D = A·C − B² = 2·2 − 0 = 4 > 0, A = 2 > 0 ⇒ МІНІМУМ.

5) Значення: z(2;3) = 4 + 9 − 8 − 18 + 5 = −8. Отже z_min = −8.

⚠️ Типові помилки

• Під час обчислення ∂z/∂x забувають, що y — стала: наприклад, похідна від 3y по x дорівнює 0, а не 3.

• Плутають: член з добутком xy по x дає y (y лишається), а не 1.

• Прирівнюють до нуля лише одну похідну — потрібна система ОБИДВОХ: f′ₓ=0 і f′ᵧ=0.

• Неправильний знак визначника: D = AC − B², а не AC + B²; при D<0 екстремуму НЕМАЄ.

• За D>0 визначають тип за знаком A (чи C): A>0 — мінімум, A<0 — максимум; не навпаки.

🎯 Що завчити напамʼять

• Частинна похідна: диференціюємо по одній змінній, інші — сталі.

• Критична точка: f′ₓ=0 і f′ᵧ=0 (система).

• D = f″ₓₓ·f″ᵧᵧ − (f″ₓᵧ)².

• D>0, A>0 → min; D>0, A<0 → max; D<0 → сідло; D=0 → невизначено.

🧠 Перевір себе

1) Знайдіть ∂z/∂x для z = x²y + 3y.

2) Чому дорівнює ∂z/∂y для тієї ж функції?

3) Яка умова визначає критичну точку?

4) D<0 — це який випадок?

Відповіді: 1 — 2xy; 2 — x² + 3; 3 — одночасно f′ₓ=0 і f′ᵧ=0; 4 — екстремуму немає (сідлова точка).