Похідна та дослідження функцій однієї змінної

📌 Про що ця тема

Похідна показує швидкість зміни функції — наскільки швидко росте чи спадає графік. На іспиті перевіряють уміння знаходити похідну за правилами та застосовувати її для дослідження функції: знаходити проміжки зростання/спадання, точки екстремуму, найбільше й найменше значення. Ключове поняття — похідна f′(x).

📖 Головне

• Похідна f′(x) — границя відношення приросту функції до приросту аргументу; геометрично це тангенс кута нахилу дотичної до графіка в точці.

• Фізичний зміст: якщо s(t) — шлях, то s′(t) — швидкість, а v′(t) — прискорення.

• Похідні основних функцій: (C)′=0; (x)′=1; (xⁿ)′=n·xⁿ⁻¹; (√x)′=1/(2√x); (sin x)′=cos x; (cos x)′=−sin x; (eˣ)′=eˣ; (ln x)′=1/x.

• Правила: (u+v)′=u′+v′; (u·v)′=u′v+uv′; (u/v)′=(u′v−uv′)/v²; стала виноситься: (C·u)′=C·u′.

• Похідна складеної функції: (f(g(x)))′=f′(g)·g′(x).

• Рівняння дотичної в точці x₀: y=f(x₀)+f′(x₀)·(x−x₀).

• Якщо f′(x)>0 на проміжку — функція зростає; якщо f′(x)<0 — спадає.

• Критичні точки — там, де f′(x)=0 або не існує. Саме в них можливі екстремуми.

• Якщо f′ при переході через точку змінює знак з «+» на «−» — це максимум; з «−» на «+» — мінімум.

• Найбільше/найменше значення на відрізку [a;b] шукають серед критичних точок усередині та на кінцях a і b.

🔢 Як це працює на прикладі

Дослідити f(x)=x³−3x.

1) f′(x)=3x²−3.

2) f′(x)=0 → 3x²−3=0 → x²=1 → x=−1 і x=1.

3) Знаки f′: при x<−1 (напр. x=−2) f′=9>0 — зростає; при −1<x<1 (x=0) f′=−3<0 — спадає; при x>1 (x=2) f′=9>0 — зростає.

4) У x=−1 знак змінюється з + на − → максимум, f(−1)=−1+3=2. У x=1 з − на + → мінімум, f(1)=1−3=−2.

Другий приклад: дотична до f(x)=x² у точці x₀=1. f′(x)=2x, f′(1)=2, f(1)=1. Рівняння: y=1+2(x−1)=2x−1.

⚠️ Типові помилки

• Забувають множити на похідну внутрішньої функції у складеній функції (напр. (sin 2x)′=2cos 2x, а не cos 2x).

• Плутають правило добутку з простим перемноженням похідних — (uv)′≠u′v′.

• У частці плутають порядок у чисельнику: має бути u′v−uv′, а не uv′−u′v.

• Критичну точку автоматично вважають екстремумом, не перевіривши зміну знака f′.

• На відрізку шукають екстремум лише всередині, забуваючи порахувати значення на кінцях a і b.

🎯 Що завчити напамʼять

• Таблицю похідних (степінь, sin, cos, eˣ, ln x).

• Правила: суми, добутку, частки, складеної функції.

• (xⁿ)′=n·xⁿ⁻¹ — найчастіша формула.

• Рівняння дотичної: y=f(x₀)+f′(x₀)(x−x₀).

• Ознаки: f′>0 — зростає, f′<0 — спадає; зміна знака +/− — макс, −/+ — мін.

🧠 Перевір себе

1) Знайдіть похідну f(x)=x⁴−2x².

2) Чому дорівнює (cos 3x)′?

3) У яких точках можливий екстремум функції f(x)=x³−3x?

4) Зростає чи спадає f(x)=x³−3x при x=0?

Відповіді: 1 — 4x³−4x; 2 — −3sin 3x; 3 — x=−1 і x=1; 4 — спадає (f′(0)=−3<0).