Оцінка вартості грошей у часі; теперішня і майбутня вартість; ануїтети
Розділ: Фінанси підприємств
📌 Про що ця тема
Тут перевіряють розуміння того, що гроші сьогодні й такі самі гроші в майбутньому мають різну цінність. Ключове поняття — вартість грошей у часі (time value of money). Ви маєте вміти дисконтувати майбутні суми до теперішнього моменту і, навпаки, нарощувати теперішні суми на майбутнє, а також рахувати потоки платежів (ануїтети).
📖 Головне
• Чому гроші «дорожчають» у часі: інфляція, ризик неповернення, можливість інвестувати й отримати дохід. Тому 1000 грн сьогодні цінніша за 1000 грн через рік.
• Майбутня вартість (FV) — скільки коштуватиме теперішня сума через n періодів при ставці i. Формула складних відсотків: FV = PV × (1 + i)^n.
• Теперішня вартість (PV) — скільки коштує сьогодні сума, яку отримаємо в майбутньому. PV = FV / (1 + i)^n. Процес знаходження PV називають дисконтуванням, а i — ставкою дисконтування.
• (1 + i)^n — коефіцієнт нарощення; 1/(1 + i)^n — коефіцієнт дисконтування.
• Прості відсотки (нараховуються лише на початкову суму): FV = PV × (1 + i × n). Застосовують рідше, зазвичай для коротких строків.
• Ануїтет — серія РІВНИХ платежів (PMT) через рівні проміжки часу (оренда, кредит, депозит з однаковими внесками).
• Майбутня вартість ануїтету (постнумерандо, платіж у кінці періоду): FVA = PMT × [((1 + i)^n − 1) / i].
• Теперішня вартість ануїтету: PVA = PMT × [(1 − (1 + i)^(−n)) / i].
• Ставка і період мають бути узгоджені: якщо нарахування щомісячні, то i — місячна ставка, n — кількість місяців.
• Що вища ставка i та більше n, то менша теперішня вартість однієї майбутньої суми.
🔢 Як це працює на прикладі
Приклад 1 (FV). Поклали 10 000 грн на 3 роки під 10% річних, складні відсотки.
FV = 10000 × (1 + 0,10)^3 = 10000 × 1,331 = 13 310 грн.
Приклад 2 (PV). Скільки покласти сьогодні під 10%, щоб через 2 роки мати 12 100 грн?
PV = 12100 / (1 + 0,10)^2 = 12100 / 1,21 = 10 000 грн.
Приклад 3 (ануїтет). Вносимо по 1000 грн у кінці кожного року 3 роки під 10%.
FVA = 1000 × [((1,1)^3 − 1)/0,10] = 1000 × [(1,331 − 1)/0,1] = 1000 × 3,31 = 3310 грн.
⚠️ Типові помилки
• Плутають PV і FV: для майбутньої суми множать на (1+i)^n, для теперішньої — ділять. Переконайтеся, що саме шукаєте.
• Змішують прості й складні відсотки: у складних база щороку зростає, у простих — ні.
• Неузгодженість i та n: беруть річну ставку, а періоди місячні. Треба i_міс = i_річ/12, n = кількість місяців.
• Плутають одноразову суму й ануїтет: для ряду рівних платежів потрібні формули ануїтету, а не (1+i)^n.
• Забувають про момент платежу (кінець чи початок періоду) — для авансового ануїтету результат множать ще на (1+i).
🎯 Що завчити напамʼять
• FV = PV × (1 + i)^n
• PV = FV / (1 + i)^n
• Прості відсотки: FV = PV × (1 + i × n)
• FVA = PMT × [((1 + i)^n − 1) / i]
• PVA = PMT × [(1 − (1 + i)^(−n)) / i]
• Дисконтування — пошук PV; нарощення — пошук FV.
🧠 Перевір себе
1. Як знайти теперішню вартість суми 1000 грн, яку отримаємо через рік під 25%?
2. Чим складні відсотки відрізняються від простих?
3. Що таке ануїтет?
4. FV вкладу 5000 грн на 2 роки під 20% складних?
Відповіді: 1 — PV = 1000/1,25 = 800 грн; 2 — у складних відсотки нараховуються й на раніше нараховані відсотки (на зростаючу базу), у простих — лише на початкову суму; 3 — серія рівних платежів через рівні проміжки часу; 4 — 5000 × 1,2² = 5000 × 1,44 = 7200 грн.