Описова статистика: міри центральної тенденції та варіації; довірчий інтервал

📌 Про що ця тема

Описова статистика — це спосіб коротко описати масив даних кількома числами замість сотень окремих значень. На іспиті перевіряють уміння обчислити й розрізнити міри центральної тенденції (мода, медіана, середнє), міри варіації (розмах, дисперсія, стандартне відхилення) та зрозуміти суть довірчого інтервалу. Ключове поняття — як «стиснути» вибірку в показники без спотворення.

📖 Головне

Міри центральної тенденції (де «центр» даних):

• Мода (Mo) — значення, що трапляється найчастіше. Може бути кілька мод або жодної.

• Медіана (Me) — значення посередині впорядкованого ряду. Ділить вибірку навпіл. Стійка до викидів.

• Середнє арифметичне (M, x̄) = сума всіх значень / їх кількість (n). Чутливе до викидів.

• Для симетричного розподілу Mo ≈ Me ≈ M. При асиметрії вони розходяться.

Шкали вимірювання (визначають, яку міру можна брати):

• Номінальна (стать, колір) — тільки мода.

• Порядкова (ранги, бали згоди) — мода і медіана.

• Інтервальна/відношень (вік, час реакції) — усі міри, зокрема середнє.

Міри варіації (наскільки дані розкидані):

• Розмах R = xmax − xmin. Найгрубіша міра.

• Дисперсія (D, σ²) — середній квадрат відхилень від середнього.

• Стандартне (середньоквадратичне) відхилення σ = √D. У тих самих одиницях, що й дані; показує типове відхилення від середнього.

• Коефіцієнт варіації V = (σ / x̄)·100%. Дозволяє порівнювати розкид різних за одиницями величин.

Довірчий інтервал (ДІ):

• Це діапазон, у якому з заданою ймовірністю (найчастіше 95%) лежить істинне значення параметра генеральної сукупності.

• Будується навколо вибіркового середнього: x̄ ± похибка.

• Чим більша вибірка (n) і менший розкид (σ), тим вужчий інтервал — оцінка точніша.

• Рівень довіри 95% означає: якщо повторювати дослідження багато разів, приблизно 95% таких інтервалів накриють істинне значення.

🔢 Як це працює на прикладі

Ряд балів тривожності: 4, 7, 7, 8, 9.

• Впорядкований — уже готовий. Медіана = середнє значення = 7.

• Мода = 7 (двічі).

• Середнє = (4+7+7+8+9)/5 = 35/5 = 7.

• Розмах = 9 − 4 = 5.

• Відхилення від середнього: −3, 0, 0, 1, 2; квадрати: 9, 0, 0, 1, 4; сума = 14.

• Дисперсія = 14/5 = 2,8; σ = √2,8 ≈ 1,67.

⚠️ Типові помилки

• Рахують середнє для номінальних/порядкових даних (напр., «середня стать») — безглуздо, тут лише мода/медіана.

• Плутають дисперсію і стандартне відхилення: σ — це корінь із дисперсії, а не сама дисперсія.

• Вважають, що середнє завжди «типове». За наявності викиду (напр., одна величезна зарплата) медіана чесніша.

• Тлумачать 95% ДІ як «95% людей потрапляють у цей діапазон» — насправді це про надійність оцінки параметра, а не про окремих осіб.

• Думають, що вужчий інтервал — завжди краще, забуваючи, що він залежить від n і σ.

🎯 Що завчити напамʼять

• M = Σx / n; σ = √D; D = Σ(x−x̄)²/n; V = (σ/x̄)·100%.

• Медіана стійка до викидів, середнє — ні.

• Шкали: номінальна → мода; порядкова → + медіана; інтервальна → + середнє.

• 95% — стандартний рівень довіри; ↑n і ↓σ звужують ДІ.

🧠 Перевір себе

1. Яку міру центральної тенденції можна рахувати для номінальної шкали?

2. Чим медіана краща за середнє при викидах?

3. Як пов’язані дисперсія і стандартне відхилення?

4. Що означає 95% довірчий інтервал?

Відповіді: 1 — лише моду; 2 — медіана не зміщується через окремі екстремальні значення, тому точніше показує «центр»; 3 — стандартне відхилення σ = √дисперсії (корінь із дисперсії); 4 — діапазон, який з ймовірністю 95% накриває істинне значення параметра генеральної сукупності (при багаторазовому повторенні ~95% таких інтервалів його містять).