Задачі математичної статистики; первинна обробка даних; регресійний аналіз

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють уміння описати набір числових даних кількома показниками (середнє, розкид) та знайти залежність між двома величинами. Ключові поняття: вибірка, середнє, дисперсія, лінійна регресія. На практиці це часто рахують у табличному процесорі (Excel / Google Таблиці).

📖 Головне

• Генеральна сукупність — усі обʼєкти, вибірка — частина, яку реально дослідили. Обсяг вибірки n — кількість значень.

• Первинна обробка — упорядкування даних: складання варіаційного ряду (значення за зростанням), підрахунок частот (скільки разів зустрічається значення), побудова таблиці частот і гістограми.

• Середнє арифметичне: x̄ = (x₁+x₂+…+xₙ)/n. Основна міра «центру».

• Мода — значення, що трапляється найчастіше. Медіана — середній елемент упорядкованого ряду (при парному n — півсума двох центральних).

• Розмах R = xmax − xmin — найпростіша міра розкиду.

• Дисперсія D = Σ(xᵢ − x̄)²/n — середній квадрат відхилення від середнього. Стандартне відхилення σ = √D — розкид у тих самих одиницях, що й дані.

• Регресійний аналіз шукає залежність y від x. Лінійна регресія: y = a·x + b, де a — кутовий коефіцієнт (нахил), b — зсув.

• Метод найменших квадратів підбирає a і b так, щоб сума квадратів відхилень точок від прямої була мінімальною.

• Коефіцієнт кореляції r (від −1 до 1) показує силу та напрям звʼязку: r≈1 — сильний прямий, r≈−1 — сильний обернений, r≈0 — звʼязку майже немає.

• У таблицях: СРЗНАЧ (середнє), МЕДИАНА, МОДА, ДИСП, СТАНДОТКЛОН, НАКЛОН (a), ОТРЕЗОК (b), КОРРЕЛ (r), ЛИНЕЙН.

🔢 Як це працює на прикладі

Дані: 2, 4, 4, 6, 9 (n=5).

• Середнє: (2+4+4+6+9)/5 = 25/5 = 5.

• Мода = 4 (трапляється двічі). Медіана: упорядковано 2,4,4,6,9 → центральний = 4.

• Розмах R = 9 − 2 = 7.

• Дисперсія: відхилення (−3,−1,−1,1,4), квадрати 9,1,1,1,16, сума 28, D = 28/5 = 5,6. σ = √5,6 ≈ 2,37.

Приклад регресії: точки (1;2),(2;3),(3;5). Підбір прямої дає приблизно y = 1,5x + 0,33. При x=4 прогноз y ≈ 6,33.

⚠️ Типові помилки

• Плутають моду, медіану й середнє — це три різні показники «центру», а не синоніми.

• Ділять дисперсію на n−1 чи на n навмання: у шкільних задачах зазвичай на n, уважно читай умову.

• Забувають брати квадратний корінь при переході від дисперсії до стандартного відхилення.

• Вважають, що кореляція = причинність: r≈1 означає лише звʼязок, а не що одне спричиняє інше.

• Плутають коефіцієнти a (нахил) і b (зсув) у рівнянні прямої.

🎯 Що завчити напамʼять

• x̄ = Σxᵢ/n

• D = Σ(xᵢ − x̄)²/n, σ = √D

• R = xmax − xmin

• Лінійна регресія y = a·x + b

• r ∈ [−1; 1]; знак = напрям звʼязку

• Функції: СРЗНАЧ, МЕДИАНА, МОДА, ДИСП, НАКЛОН, ОТРЕЗОК, КОРРЕЛ

🧠 Перевір себе

1. Для ряду 3,3,5,7 знайди середнє й медіану.

2. Що означає r = −0,9?

3. Яка функція таблиці дає кутовий коефіцієнт прямої?

4. Чим мода відрізняється від медіани?

Відповіді: 1 — середнє (3+3+5+7)/4 = 4,5; медіана = (3+5)/2 = 4; 2 — сильний обернений звʼязок (зі зростанням x величина y спадає); 3 — НАКЛОН; 4 — мода це найчастіше значення, медіана — центральний елемент упорядкованого ряду.