Точкові та інтервальні оцінки; довірчі інтервали

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють, як за вибіркою (частиною даних) оцінити невідомі характеристики всієї сукупності. Ключові поняття: точкова оцінка (одне число) та інтервальна оцінка (діапазон значень) із заданою надійністю — довірчий інтервал. Це основа статистичних висновків у роботі з даними.

📖 Головне

• Генеральна сукупність — усі обʼєкти, які вивчаємо; вибірка — її частина, за якою робимо висновки. Обсяг вибірки позначають n.

• Точкова оцінка — одне число, що наближено дорівнює невідомому параметру. Вона «б’є в точку», але майже завжди з похибкою.

• Вибіркове середнє x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ)/n — оцінка генерального середнього (матсподівання).

• Вибіркова дисперсія (виправлена) s² = Σ(xᵢ − x̄)²/(n − 1) — оцінка розсіювання. Поділ саме на (n−1) робить оцінку незміщеною.

• Вибіркове стандартне відхилення s = √s².

• Властивості «хорошої» оцінки: незміщеність (у середньому дорівнює параметру), ефективність (найменше розсіювання), слушність (при зростанні n наближається до параметра).

• Інтервальна оцінка (довірчий інтервал) — проміжок (a; b), який із заданою ймовірністю містить невідомий параметр.

• Надійність (довірча ймовірність) γ — ймовірність, що інтервал накриє параметр (типово 0,95 або 0,99). Рівень значущості α = 1 − γ.

• Довірчий інтервал для середнього (при відомому σ): x̄ − z·σ/√n < μ < x̄ + z·σ/√n, де z — критичне значення, половина ширини — це гранична похибка Δ = z·σ/√n.

• Чим більший n, тим вужчий інтервал (точніша оцінка). Чим більша надійність γ, тим ширший інтервал.

🔢 Як це працює на прикладі

Вибірка часу відгуку сервера (мс): 20, 22, 24, 26, 28; n = 5.

• x̄ = (20+22+24+26+28)/5 = 120/5 = 24.

• Відхилення: −4, −2, 0, 2, 4; квадрати: 16, 4, 0, 4, 16; сума = 40.

• s² = 40/(5−1) = 10, s = √10 ≈ 3,16.

Нехай σ = 3,16 відоме, γ = 0,95, тоді z ≈ 1,96.

• Δ = 1,96·3,16/√5 ≈ 1,96·3,16/2,236 ≈ 2,77.

• Інтервал: 24 − 2,77 < μ < 24 + 2,77, тобто (21,23; 26,77). Із надійністю 95% середній час відгуку лежить тут.

⚠️ Типові помилки

• Ділять суму квадратів на n замість (n−1) — виходить зміщена дисперсія.

• Плутають надійність γ і рівень значущості α: γ = 1 − α, а не навпаки.

• Думають, що надійність 0,95 означає ймовірність для параметра бути в цьому конкретному інтервалі; це частота накриття для багатьох вибірок.

• Забувають ділити на √n у граничній похибці, ділять просто на n.

• Вважають, що більша надійність дає вужчий інтервал — навпаки, ширший.

🎯 Що завчити напамʼять

• x̄ = Σxᵢ/n; s² = Σ(xᵢ − x̄)²/(n − 1).

• Δ = z·σ/√n; інтервал x̄ ± Δ.

• α = 1 − γ.

• Для γ = 0,95 → z ≈ 1,96; для γ = 0,99 → z ≈ 2,58.

• Більше n → вужчий інтервал; більша γ → ширший.

🧠 Перевір себе

1. Чим точкова оцінка відрізняється від інтервальної?

2. На що ділимо суму квадратів відхилень у виправленій дисперсії?

3. Як зміниться ширина довірчого інтервалу, якщо збільшити n?

4. Знайди x̄ для вибірки 4, 6, 8, 10.

Відповіді: 1 — точкова дає одне число-наближення, інтервальна дає проміжок із заданою надійністю; 2 — на (n−1); 3 — зменшиться (інтервал вужчий); 4 — x̄ = 28/4 = 7.