Розподіл випадкової величини; рівномірний та нормальний розподіли

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють розуміння того, як поводиться випадкова величина — величина, що набуває різних значень із певними ймовірностями. Ключове поняття: розподіл випадкової величини — правило, яке кожному значенню (чи проміжку) ставить у відповідність імовірність. Окремо розглядають два найважливіші неперервні розподіли: рівномірний і нормальний.

📖 Головне

• Випадкова величина буває дискретна (окремі значення: кількість очок на кубику) і неперервна (будь-яке значення з проміжку: зріст, час).

• Розподіл дискретної величини задають таблицею: значення x₁, x₂… і їхні ймовірності p₁, p₂… Сума всіх ймовірностей = 1.

• Математичне сподівання M(X) — «середнє очікуване» значення. Для дискретної: M(X) = Σ xᵢ·pᵢ.

• Дисперсія D(X) — міра розкиду значень навколо середнього: D(X) = M(X²) − (M(X))². Стандартне відхилення σ = √D(X).

• Неперервну величину описують щільністю розподілу f(x); імовірність потрапити в проміжок = площа під графіком f(x) на цьому проміжку. Повна площа = 1.

• Рівномірний розподіл на [a; b]: усі значення проміжку однаково ймовірні. Щільність стала: f(x) = 1/(b−a) на [a;b] і 0 поза ним.

• Для рівномірного: M(X) = (a+b)/2 (середина), D(X) = (b−a)²/12.

• Імовірність потрапити в [c; d] ⊂ [a; b] для рівномірного: P = (d−c)/(b−a).

• Нормальний розподіл (Гаусса): графік — симетричний «дзвін» із вершиною в точці M(X). Задається двома параметрами: середнім μ і відхиленням σ.

• Правило трьох сигм: ≈68% значень лежать у межах μ±σ, ≈95% у μ±2σ, ≈99,7% у μ±3σ.

• У програмуванні випадкові числа генерують функціями: рівномірні — типу random(); для моделювання використовують генератори псевдовипадкових чисел.

🔢 Як це працює на прикладі

Приклад 1 (рівномірний). Автобус приходить рівномірно в проміжку [0; 20] хв. Яка ймовірність чекати від 5 до 10 хв? P = (10−5)/(20−0) = 5/20 = 0,25. Середній час очікування M(X) = (0+20)/2 = 10 хв.

Приклад 2 (нормальний). Зріст юнаків розподілений нормально: μ = 175 см, σ = 6 см. Скільки відсотків мають зріст від 169 до 181 см? Це μ±σ, тобто за правилом трьох сигм ≈68%. А від 163 до 187 (μ±2σ) — ≈95%.

⚠️ Типові помилки

• Плутають щільність f(x) з імовірністю: для неперервної величини імовірність окремого значення = 0, важлива лише площа на проміжку.

• Забувають, що сума ймовірностей (дискретна) чи площа під f(x) (неперервна) завжди = 1.

• У рівномірному ділять не на довжину (b−a), а на щось інше; плутають формули M і D.

• Застосовують правило трьох сигм до рівномірного розподілу — воно лише для нормального.

• Плутають σ (стандартне відхилення) і D (дисперсію): D = σ².

🎯 Що завчити напамʼять

• M(X) = Σ xᵢ·pᵢ; D(X) = M(X²) − (M(X))²; σ = √D.

• Рівномірний: f = 1/(b−a); M = (a+b)/2; D = (b−a)²/12; P = (d−c)/(b−a).

• Нормальний — симетричний «дзвін», параметри μ і σ.

• Три сигми: 68% / 95% / 99,7% для μ±σ, μ±2σ, μ±3σ.

🧠 Перевір себе

1. Величина рівномірна на [0;10]. Знайди P(2 ≤ X ≤ 4).

2. Чому дорівнює M(X) рівномірного розподілу на [4;12]?

3. Скільки приблизно % значень нормального розподілу лежать у межах μ±2σ?

4. Як пов'язані дисперсія D і стандартне відхилення σ?

Відповіді: 1 — (4−2)/10 = 0,2; 2 — (4+12)/2 = 8; 3 — ≈95%; 4 — σ = √D, тобто D = σ².