Числові характеристики випадкових величин та вибірок

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють уміння обчислювати основні числові характеристики наборів даних: середнє, медіану, моду, розмах, дисперсію та стандартне відхилення. Ключове поняття — вибірка (набір зібраних значень) та її характеристики, що описують «центр» даних і їхній «розкид».

📖 Головне

• Вибірка — це сукупність отриманих числових значень (результатів вимірювань, спостережень). Її обсяг n — кількість значень.

• Середнє арифметичне (математичне сподівання для вибірки): x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ)/n. Показує «центр» даних, але чутливе до викидів.

• Медіана — значення, що стоїть посередині впорядкованого ряду. Якщо n непарне — центральний елемент; якщо парне — середнє двох центральних. Стійка до викидів.

• Мода — значення, що трапляється найчастіше. Мод може бути кілька або жодної.

• Розмах R = xₘₐₓ − xₘᵢₙ. Найпростіша міра розкиду.

• Дисперсія D — середній квадрат відхилень від середнього: D = ((x₁−x̄)² + … + (xₙ−x̄)²)/n. Чим більша D, тим сильніше дані розкидані.

• Стандартне (середньоквадратичне) відхилення σ = √D. Має ту саму розмірність, що й дані, тому зручне для тлумачення.

• Для випадкової величини з імовірностями: математичне сподівання M(X) = Σ xᵢ·pᵢ (сума добутків значень на їхні ймовірності), де Σpᵢ = 1.

• Частота значення — скільки разів воно трапилось; відносна частота = частота/n. Сума відносних частот = 1.

🔢 Як це працює на прикладі

Вибірка оцінок: 7, 9, 5, 9, 10 (n = 5).

• Впорядкуємо: 5, 7, 9, 9, 10.

• Середнє: (5+7+9+9+10)/5 = 40/5 = 8.

• Медіана: центральний (3-й) елемент = 9.

• Мода: 9 (трапляється двічі).

• Розмах: 10 − 5 = 5.

• Дисперсія: відхилення від 8: (−3), (−1), (1), (1), (2). Квадрати: 9, 1, 1, 1, 4 = 16. D = 16/5 = 3,2.

• Стандартне відхилення: σ = √3,2 ≈ 1,79.

Приклад на M(X): величина X приймає значення 0, 1, 2 з імовірностями 0,2; 0,5; 0,3.

M(X) = 0·0,2 + 1·0,5 + 2·0,3 = 0 + 0,5 + 0,6 = 1,1.

⚠️ Типові помилки

• Шукають медіану, не впорядкувавши ряд — медіана рахується лише в відсортованому наборі.

• При парному n беруть один центральний елемент замість середнього двох.

• Плутають моду й медіану: мода — найчастіше значення, медіана — серединне.

• У дисперсії забувають піднести відхилення до квадрата або ділять на (n−1) замість n (у шкільному курсі зазвичай ділять на n).

• При M(X) забувають перевірити, що сума ймовірностей дорівнює 1, і множать неправильні пари.

🎯 Що завчити напамʼять

• x̄ = (Σxᵢ)/n

• Медіана — серединне значення впорядкованого ряду (при парному n — середнє двох центральних).

• Мода — найчастіше значення; розмах R = xₘₐₓ − xₘᵢₙ.

• D = (Σ(xᵢ−x̄)²)/n; σ = √D.

• M(X) = Σ xᵢ·pᵢ; Σpᵢ = 1.

🧠 Перевір себе

1. Для ряду 3, 5, 5, 8 знайди середнє і моду.

2. Чим медіана відрізняється від середнього за стійкістю до викидів?

3. Обчисли розмах ряду 12, 4, 7, 20.

4. X приймає 1 і 3 з імовірностями 0,6 і 0,4. Знайди M(X).

Відповіді: 1 — середнє = 21/4 = 5,25; мода = 5. 2 — медіана не змінюється від окремих дуже великих/малих значень, а середнє «зміщується» до викиду. 3 — 20 − 4 = 16. 4 — 1·0,6 + 3·0,4 = 0,6 + 1,2 = 1,8.