Лінійний векторний простір; розмірність і базис

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють розуміння, що таке векторний простір і як описати всі його вектори через невелику «опорну» множину — базис. Ключові поняття: лінійна комбінація, лінійна незалежність, базис і розмірність. Це фундамент для систем рівнянь, графіки та обробки даних.

📖 Головне

• Вектор — упорядкований набір чисел (координат), напр. v = (2; -1; 3). Над векторами визначено додавання і множення на число (скаляр).

• Лінійний векторний простір — множина векторів, замкнена відносно цих двох операцій: сума двох векторів і добуток вектора на число знову належать простору.

• Лінійна комбінація векторів v₁…vₙ — вираз a₁v₁ + a₂v₂ + … + aₙvₙ, де aᵢ — числа (коефіцієнти).

• Вектори лінійно НЕзалежні, якщо рівність a₁v₁+…+aₙvₙ = 0 можлива ТІЛЬКИ коли всі aᵢ = 0. Якщо є ненульовий набір коефіцієнтів, що дає 0 — вектори лінійно залежні.

• Лінійна залежність означає, що хоч один вектор виражається через інші (зайвий).

• Базис — така множина лінійно незалежних векторів, через яку можна виразити БУДЬ-ЯКИЙ вектор простору, причому єдиним способом.

• Розмірність простору — кількість векторів у базисі. Для простору Rⁿ розмірність дорівнює n.

• Стандартний (канонічний) базис у R²: e₁=(1;0), e₂=(0;1); у R³: (1;0;0),(0;1;0),(0;0;1).

• Координати вектора в базисі — це ті самі коефіцієнти розкладу за базисними векторами.

• Перевірка незалежності: скласти з векторів матрицю і знайти ранг (або визначник для квадратної). Якщо визначник ≠ 0 — вектори незалежні й утворюють базис.

🔢 Як це працює на прикладі

Чи є вектори v₁=(1;2), v₂=(3;4) базисом R²?

Крок 1. Їх двоє, а розмірність R² = 2 — кількість підходить.

Крок 2. Перевіряємо незалежність через визначник:

| 1 3 |

| 2 4 | = 1·4 − 3·2 = 4 − 6 = −2 ≠ 0.

Крок 3. Визначник не нуль → вектори лінійно незалежні → утворюють базис R².

Розкладемо u=(5;6): a·(1;2)+b·(3;4)=(5;6) → a+3b=5; 2a+4b=6. Розв'язок: a=−1, b=2. Отже координати u в цьому базисі: (−1; 2).

⚠️ Типові помилки

• Плутають «кількість векторів = розмірності» з «це вже базис»: потрібна ще й незалежність.

• Вважають незалежними вектори, один з яких кратний іншому: (1;2) і (2;4) залежні (другий = 2·перший).

• Забувають, що нульовий вектор робить будь-яку систему лінійно залежною.

• Думають, що базис єдиний — базисів безліч, єдина лише розмірність.

• Плутають координати вектора зі самим вектором: координати залежать від обраного базису.

🎯 Що завчити напамʼять

• Умова незалежності: a₁v₁+…+aₙvₙ=0 ⇒ усі aᵢ=0.

• Розмірність Rⁿ = n; базис має рівно n незалежних векторів.

• Визначник ≠ 0 ⇔ вектори незалежні (для n векторів у Rⁿ).

• Канонічні базиси R² і R³.

🧠 Перевір себе

1. Чи залежні вектори (2;6) і (1;3)?

2. Скільки векторів у базисі R⁴?

3. Чи може базис R³ складатися з 2 векторів?

4. Що означає визначник матриці векторів = 0?

Відповіді: 1 — так, залежні (другий = ½ першого); 2 — чотири; 3 — ні, потрібно рівно 3; 4 — вектори лінійно залежні, базису не утворюють.