Чисельні методи розвʼязання нелінійних рівнянь (поділ навпіл, Ньютона, січних)

📌 Про що ця тема

Чисельні методи дають наближений корінь рівняння f(x) = 0, коли точну формулу знайти складно або неможливо. На іспиті перевіряють розуміння ідеї трьох методів (поділ навпіл, Ньютона, січних), умов їх застосування і вміння виконати кілька ітерацій вручну чи оцінити кількість кроків. Ключове поняття — ітерація: повторюване наближення до кореня із заданою точністю ε.

📖 Головне

• Корінь рівняння — значення x, при якому f(x) = 0. Чисельні методи шукають його на відрізку [a; b] з точністю ε (напр., ε = 0,001).

• Умова відокремлення кореня: якщо f неперервна і f(a)·f(b) < 0, то на [a; b] є хоча б один корінь (функція змінює знак).

• МЕТОД ПОДІЛУ НАВПІЛ (бісекції): беремо середину c = (a + b)/2. Якщо f(a)·f(c) < 0 — корінь у лівій половині (b = c), інакше в правій (a = c). Повторюємо, поки довжина відрізка > ε.

• Бісекція завжди збігається (надійна), але повільно: за один крок відрізок зменшується вдвічі. Потрібна лише зміна знаку, похідна не потрібна.

• Число кроків бісекції: n ≈ log₂((b − a)/ε) — довжина відрізка після n кроків дорівнює (b − a)/2ⁿ.

• МЕТОД НЬЮТОНА (дотичних): наступне наближення xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ). Геометрично — перетин дотичної з віссю Ox.

• Ньютон збігається дуже швидко (квадратично), але потребує похідну f′(x) і гарного початкового наближення; при f′ ≈ 0 або поганому старті може розбігатися.

• МЕТОД СІЧНИХ: заміна похідної різницевим відношенням. xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)·(xₙ − xₙ₋₁)/(f(xₙ) − f(xₙ₋₁)). Потрібні ДВА початкові наближення, похідна не потрібна.

• Січні повільніші за Ньютона, але швидші за бісекцію; похідну рахувати не треба.

• Критерій зупинки: |b − a| < ε, або |xₙ₊₁ − xₙ| < ε, або |f(xₙ)| < ε.

🔢 Як це працює на прикладі

Розвʼяжемо x² − 2 = 0 на [1; 2], ε = 0,1 (корінь √2 ≈ 1,414).

Бісекція:

• f(1) = −1, f(2) = 2 → знаки різні, корінь є.

• c = 1,5; f(1,5) = 0,25 > 0 → корінь у [1; 1,5], b = 1,5.

• c = 1,25; f(1,25) = −0,4375 < 0 → корінь у [1,25; 1,5], a = 1,25.

• c = 1,375; f = −0,109 < 0 → [1,375; 1,5]. Довжина 0,125 > 0,1, крок далі.

• c = 1,4375; f = 0,066 → [1,375; 1,4375], довжина 0,0625 < ε. Корінь ≈ 1,41.

Ньютон для того ж, f′ = 2x, старт x₀ = 2:

• x₁ = 2 − 2/4 = 1,5

• x₂ = 1,5 − 0,25/3 = 1,4167

• x₃ ≈ 1,41422 — уже 4 вірні знаки за 3 кроки.

⚠️ Типові помилки

• Застосовують бісекцію без перевірки f(a)·f(b) < 0 — методу може не бути кореня або їх кілька.

• Плутають формули Ньютона й січних: у Ньютона в знаменнику похідна f′(xₙ), у січних — різницеве відношення з двома точками.

• У методі Ньютона забувають, що потрібне ОДНЕ наближення, а в січних — ДВА.

• Неправильно обирають половину в бісекції: перевіряти знак добутку f(a)·f(c), а не самих значень.

• Вважають результат точним коренем — це завжди наближення в межах ε.

🎯 Що завчити напамʼять

• Умова кореня: f(a)·f(b) < 0.

• Бісекція: c = (a+b)/2, кроків ≈ log₂((b−a)/ε).

• Ньютон: xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ), потрібна похідна, 1 старт.

• Січні: xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)(xₙ−xₙ₋₁)/(f(xₙ)−f(xₙ₋₁)), 2 старти.

• Швидкість: Ньютон > січні > бісекція; надійність: бісекція найкраща.

🧠 Перевір себе

1. Чому для бісекції обовʼязкова умова f(a)·f(b) < 0?

2. Скільки кроків бісекції треба для [0; 1] з ε = 0,01?

3. Яка різниця між методами Ньютона й січних?

Відповіді: 1 — зміна знаку гарантує наявність кореня на відрізку (неперервна функція); 2 — n ≈ log₂(1/0,01) = log₂100 ≈ 7 кроків; 3 — Ньютон використовує похідну f′ і одне наближення, січні замінюють похідну різницею і потребують двох наближень.