Стохастичний експеримент; ймовірність (комбінаторна, геометрична, умовна)

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють уміння обчислювати ймовірність випадкової події. Ключове поняття — стохастичний (випадковий) експеримент: дослід, результат якого неможливо передбачити заздалегідь. Треба знати комбінаторну (класичну), геометричну та умовну ймовірність.

📖 Головне

• Стохастичний експеримент — дослід із кількома можливими наслідками, де наперед невідомо, який настане (кидок монети, кубика, витягування картки).

• Елементарні події — усі рівноможливі наслідки досліду. Їхня сукупність — простір подій.

• Подія A — набір наслідків, які нас цікавлять.

• Класична (комбінаторна) ймовірність: P(A) = m/n, де m — число сприятливих наслідків, n — загальна кількість рівноможливих наслідків.

• Завжди 0 ≤ P(A) ≤ 1. Неможлива подія — 0, достовірна — 1.

• Для підрахунку m і n використовують комбінаторику:

– перестановки Pₙ = n! (порядок усіх елементів);

– розміщення Aⁿₖ = n!/(n−k)! (вибір k з порядком);

– сполучення Cⁿₖ = n!/(k!(n−k)!) (вибір k без порядку).

• Правило суми: якщо A і B несумісні, P(A або B) = P(A) + P(B).

• Правило добутку: для незалежних подій P(A і B) = P(A)·P(B).

• Ймовірність протилежної події: P(не A) = 1 − P(A).

• Геометрична ймовірність: коли наслідків нескінченно багато, P = (міра сприятливої області)/(міра всієї області). Міра — довжина, площа або об’єм.

• Умовна ймовірність P(A|B) — ймовірність A за умови, що B уже сталася: P(A|B) = P(A і B)/P(B).

🔢 Як це працює на прикладі

Приклад 1 (комбінаторна). У кошику 5 білих і 3 чорні кулі. Яка ймовірність витягти 2 білі?

Усього способів вибрати 2 з 8: C⁸₂ = 28. Сприятливих (2 білі з 5): C⁵₂ = 10.

P = 10/28 = 5/14 ≈ 0,357.

Приклад 2 (геометрична). На відрізку [0; 10] навмання ставлять точку. Яка ймовірність, що вона потрапить у [3; 7]?

P = довжина [3;7] / довжина [0;10] = 4/10 = 0,4.

Приклад 3 (умовна). Кидають кубик. Відомо, що випало парне число. Яка ймовірність, що це 6?

Парні: {2,4,6} — 3 наслідки. Серед них 6 — один. P = 1/3.

⚠️ Типові помилки

• Плутають розміщення й сполучення: якщо порядок важливий — Aⁿₖ, якщо ні — Cⁿₖ. Для куль порядок зазвичай не важливий.

• Забувають, що наслідки мають бути рівноможливими, інакше формула m/n не діє.

• Для суми застосовують P(A)+P(B) до сумісних подій (треба віднімати P(A і B)).

• У геометричній ймовірності беруть не ту міру (довжину замість площі).

• В умовній ймовірності ділять на весь простір, а не на P(B) — звужувати треба до умови.

🎯 Що завчити напамʼять

• P(A) = m/n, 0 ≤ P ≤ 1, P(не A) = 1 − P(A).

• Cⁿₖ = n!/(k!(n−k)!), Aⁿₖ = n!/(n−k)!, Pₙ = n!.

• Геометрична: P = міра частини / міра цілого.

• Умовна: P(A|B) = P(A і B)/P(B).

• Добуток для незалежних, сума для несумісних.

🧠 Перевір себе

1) Кидають два кубики. Яка ймовірність суми 12?

2) Точка в квадраті 4×4 — ймовірність потрапити у вписане коло радіуса 2?

3) У класі 10 хлопців і 15 дівчат. Скількома способами обрати 2 чергових?

Відповіді: 1 — 1/36 (лише 6+6); 2 — π·2²/(4·4)=π/4≈0,785; 3 — C²₂₅ = 300.