Пряма і площина у просторі; криві другого порядку (еліпс, гіпербола, парабола)

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють уміння працювати з рівняннями прямої та площини у тривимірному просторі й розпізнавати криві другого порядку за їхніми рівняннями. Ключові поняття: напрямний вектор, вектор нормалі, канонічне рівняння. Навички потрібні для аналітичної геометрії та задач на моделювання.

📖 Головне

• Точка у просторі задається координатами (x, y, z); вектор — різницею координат кінця й початку.

• Площина загальне рівняння: Ax + By + Cz + D = 0, де вектор нормалі n = (A, B, C) перпендикулярний до площини.

• Рівняння площини через точку M₀(x₀,y₀,z₀) і нормаль: A(x−x₀)+B(y−y₀)+C(z−z₀)=0.

• Пряма у просторі — канонічне рівняння: (x−x₀)/a = (y−y₀)/b = (z−z₀)/c, де (a,b,c) — напрямний вектор.

• Параметричні рівняння прямої: x=x₀+at, y=y₀+bt, z=z₀+ct.

• Кут між прямими/площинами знаходять через скалярний добуток векторів: cosφ = (v₁·v₂)/(|v₁||v₂|).

• Пряма ⊥ площині, якщо напрямний вектор прямої паралельний нормалі площини. Пряма ∥ площині, якщо v·n = 0.

• Відстань від точки до площини: d = |Ax₀+By₀+Cz₀+D| / √(A²+B²+C²).

• Криві другого порядку задаються рівнянням другого степеня відносно x і y.

• Еліпс (канонічне): x²/a² + y²/b² = 1. Замкнена крива; a, b — півосі. Сума відстаней до двох фокусів стала.

• Коло — окремий випадок еліпса при a=b=R: x²+y²=R².

• Гіпербола: x²/a² − y²/b² = 1. Дві вітки; модуль різниці відстаней до фокусів сталий. Асимптоти y=±(b/a)x.

• Парабола: y²=2px (або y=ax²+bx+c). Усі точки рівновіддалені від фокуса й директриси.

🔢 Як це працює на прикладі

Приклад 1. Площина через точку M(1,2,3) з нормаллю n=(2,−1,4).

Підставляємо: 2(x−1)−1(y−2)+4(z−3)=0 → 2x−y+4z−12=0.

Перевірка точки: 2·1−2+12−12=0 ✓.

Приклад 2. Відстань від точки P(3,0,1) до площини 2x−y+4z−12=0.

d = |2·3−0+4·1−12| / √(4+1+16) = |6+4−12|/√21 = |−2|/√21 = 2/√21 ≈ 0,44.

Приклад 3. Визначити криву x²/9 + y²/4 = 1. Це еліпс із півосями a=3 (по x), b=2 (по y).

⚠️ Типові помилки

• Плутають напрямний вектор прямої і нормаль площини — у прямій це напрям руху, у площини перпендикуляр.

• У формулі відстані забувають брати модуль у чисельнику — отримують відʼємну відстань.

• Плутають еліпс і гіперболу: знак «+» між дробами — еліпс, «−» — гіпербола.

• Вважають, що a завжди більша піввісь; насправді a стоїть під x незалежно від величини.

• У параболі плутають вісь симетрії: y²=2px розкрита вздовж осі x, а y=ax² — вздовж осі y.

🎯 Що завчити напамʼять

• Рівняння площини: Ax+By+Cz+D=0, нормаль n=(A,B,C).

• Канонічне рівняння прямої: (x−x₀)/a=(y−y₀)/b=(z−z₀)/c.

• Відстань: d=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²).

• Еліпс x²/a²+y²/b²=1; гіпербола x²/a²−y²/b²=1; парабола y²=2px.

• Асимптоти гіперболи: y=±(b/a)x.

🧠 Перевір себе

1. Який вектор є нормаллю до площини 3x−2y+z−5=0?

2. Яка крива задана рівнянням x²/16 − y²/9 = 1?

3. Умова паралельності прямої та площини через вектори?

4. Запиши рівняння кола радіуса 5 з центром у початку координат.

Відповіді: 1 — n=(3,−2,1); 2 — гіпербола з півосями a=4, b=3, асимптоти y=±(3/4)x; 3 — скалярний добуток напрямного вектора прямої й нормалі дорівнює нулю (v·n=0); 4 — x²+y²=25.