Основи диференціальних рівнянь; задача Коші; рівняння в частинних похідних

📌 Про що ця тема

Диференціальне рівняння (ДР) — це рівняння, що звʼязує невідому функцію з її похідними. Воно описує процеси, де важлива швидкість зміни: ріст, охолодження, рух, поширення. На іспиті перевіряють уміння розпізнати тип рівняння, знайти його розвʼязок і застосувати початкову умову (задача Коші).

📖 Головне

• Звичайне ДР містить функцію однієї змінної та її похідні, напр. y' = f(x, y). Порядок ДР — найвища похідна в ньому.

• Загальний розвʼязок — сімейство функцій з довільною сталою C. Частинний розвʼязок — одна функція, коли C визначено умовою.

• Задача Коші: ДР + початкова умова y(x₀) = y₀. Вона виділяє один-єдиний розвʼязок із сімейства.

• Рівняння з відокремлюваними змінними: y' = g(x)·h(y). Розвʼязують так: dy/h(y) = g(x)dx, потім інтегрують обидві частини.

• Найважливіша модель — y' = k·y. Її розвʼязок y = C·e^(kx). При k>0 це експоненційний ріст, при k<0 — спадання (розпад, охолодження).

• Лінійне ДР першого порядку: y' + p(x)y = q(x).

• Рівняння в частинних похідних (РЧП) містить функцію кількох змінних та її частинні похідні, напр. ∂u/∂t = a·∂²u/∂x².

• Класичні РЧП: рівняння теплопровідності (дифузія), хвильове рівняння (коливання), рівняння Лапласа (стаціонарні поля).

• У РЧП замість сталих C зʼявляються довільні функції, а умови задають і початкові, і крайові (граничні).

• Чисельні методи (метод Ейлера) дають наближений розвʼязок: y_{n+1} = y_n + h·f(x_n, y_n), де h — крок.

🔢 Як це працює на прикладі

Задача Коші: y' = 2x, y(0) = 3.

• Відокремлюємо: dy = 2x dx.

• Інтегруємо: y = x² + C (загальний розвʼязок).

• Умова: y(0) = 0 + C = 3, тож C = 3.

• Відповідь: y = x² + 3.

Приклад 2 (модель росту): y' = 0,5y, y(0) = 10.

• Тип y' = ky з k = 0,5 → y = C·e^(0,5x).

• y(0) = C = 10 → y = 10·e^(0,5x).

⚠️ Типові помилки

• Забувають сталу C після інтегрування — тоді неможливо розвʼязати задачу Коші.

• Плутають загальний і частинний розвʼязок: у задачі Коші потрібен саме частинний (без C).

• Помилково не відокремлюють змінні до кінця й інтегрують вираз, де лишилися і x, і y разом.

• Плутають ДР (одна змінна, звичайні похідні) і РЧП (кілька змінних, частинні похідні ∂).

• У методі Ейлера підставляють неправильний крок h або плутають x_n і y_n у формулі.

🎯 Що завчити напамʼять

• Розвʼязок y' = ky → y = C·e^(kx).

• Схема відокремлення змінних: dy/h(y) = g(x)dx, далі інтегрувати.

• Задача Коші = ДР + умова y(x₀)=y₀ → знаходимо C.

• Метод Ейлера: y_{n+1} = y_n + h·f(x_n, y_n).

• Порядок ДР = найвища похідна; у РЧП похідні частинні (∂).

🧠 Перевір себе

1. Який порядок у рівняння y'' + y = 0?

2. Чим частинний розвʼязок відрізняється від загального?

3. Розвʼяжи y' = 3x², y(0) = 1.

4. ДР чи РЧП: ∂u/∂t = ∂²u/∂x²?

Відповіді: 1 — другий (найвища похідна y''); 2 — у частинному стала C визначена з умови, в загальному лишається довільною; 3 — y = x³ + C, C = 1, отже y = x³ + 1; 4 — РЧП (дві змінні t і x, частинні похідні).