Функції бінарної логіки

📌 Про що ця тема

Бінарна (двійкова) логіка — це основа роботи процесора й усіх цифрових схем. На іспиті перевіряють, чи вмієш ти обчислювати значення логічних виразів, будувати й читати таблиці істинності та розуміти, як логічні операції відповідають двійковим даним (0 і 1). Ключове поняття — логічна функція (операція) над висловлюваннями.

📖 Головне

• Висловлювання — твердження, яке може бути або істинним (1, true), або хибним (0, false). Третього не дано.

• Логічна операція перетворює одне чи кілька значень (0/1) на нове значення за фіксованим правилом. Правило повністю задається таблицею істинності.

• Заперечення (НЕ, NOT, ¬A, інверсія): міняє значення на протилежне. ¬0 = 1, ¬1 = 0.

• Конʼюнкція (І, AND, A∧B, логічне множення): істинна, лише коли ОБИДВА операнди істинні. 1∧1 = 1, решта = 0. Поводиться як множення: A·B.

• Дизʼюнкція (АБО, OR, A∨B, логічне додавання): хибна, лише коли ОБИДВА хибні. 0∨0 = 0, решта = 1.

• Виключне АБО (XOR, A⊕B): істинне, коли операнди РІЗНІ. 0⊕1 = 1⊕0 = 1; 0⊕0 = 1⊕1 = 0.

• Імплікація (A→B, «якщо…, то…»): хибна лише у випадку 1→0. Усі інші = 1.

• Еквіваленція (A↔B): істинна, коли операнди ОДНАКОВІ (протилежність XOR).

• Пріоритет операцій: спершу НЕ, потім І, потім АБО. Дужки змінюють порядок.

• Закони де Моргана: ¬(A∧B) = ¬A ∨ ¬B; ¬(A∨B) = ¬A ∧ ¬B. Заперечення «розкриває» дужку й міняє операцію.

• Ці операції реалізуються логічними елементами (вентилями): AND, OR, NOT, XOR — цеглинки процесора.

🔢 Як це працює на прикладі

Приклад 1. Обчислити F = (A∧B) ∨ ¬C при A=1, B=0, C=0.

Крок 1: A∧B = 1∧0 = 0.

Крок 2: ¬C = ¬0 = 1.

Крок 3: 0 ∨ 1 = 1. Отже F = 1.

Приклад 2. Таблиця істинності для F = A∨B (дизʼюнкція):

• A=0, B=0 → 0

• A=0, B=1 → 1

• A=1, B=0 → 1

• A=1, B=1 → 1

Для n змінних таблиця має 2ⁿ рядків: для 2 змінних — 4, для 3 — 8.

⚠️ Типові помилки

• Плутають І та АБО: AND дає 1 тільки при двох одиницях, OR дає 0 тільки при двох нулях.

• Ігнорують пріоритет: обчислюють зліва направо замість «НЕ → І → АБО».

• Помиляються в імплікації: забувають, що хибна вона ЛИШЕ при 1→0, а не навпаки.

• Плутають XOR і еквіваленцію: XOR = «різні», еквіваленція = «однакові».

• У законах де Моргана забувають змінити операцію (∧ на ∨) при розкритті заперечення.

🎯 Що завчити напамʼять

• Таблиці істинності НЕ, І, АБО, XOR — без роздумів.

• І (AND) = 1 лише при 1∧1; АБО (OR) = 0 лише при 0∨0.

• Імплікація хибна тільки 1→0.

• Пріоритет: НЕ → І → АБО.

• Кількість рядків таблиці = 2ⁿ.

• Закони де Моргана.

🧠 Перевір себе

1. Чому дорівнює 1∧0 ∨ 1?

2. При яких значеннях A і B імплікація A→B хибна?

3. Скільки рядків у таблиці істинності для 4 змінних?

4. Чому дорівнює ¬(A∨B) за де Морганом?

Відповіді: 1 — 1 (спершу 1∧0=0, потім 0∨1=1); 2 — лише при A=1, B=0; 3 — 16 (2⁴); 4 — ¬A ∧ ¬B.