Багатовимірні дискретні величини; сумісний розподіл; кореляційна матриця

📌 Про що ця тема

Тут вивчають, як описати ОДНОЧАСНО дві або більше випадкові величини (наприклад, зріст і вагу людини). Ключові поняття: сумісний (спільний) розподіл, маргінальні розподіли, коваріація і кореляція. Головне, що перевіряють, — уміння скласти таблицю сумісного розподілу, порахувати ймовірності та оцінити звʼязок між величинами.

📖 Головне

• Багатовимірна дискретна величина — це набір із кількох величин (X, Y, …), що набувають дискретних значень. Для двох величин розподіл задають ТАБЛИЦЕЮ: рядки — значення X, стовпці — значення Y, у клітинках — ймовірності p(xi, yj).

• Сумісний розподіл: сума ВСІХ клітинок таблиці = 1. Кожна p(xi, yj) ≥ 0.

• Маргінальний (частковий) розподіл X: p(xi) = сума по всьому рядку. Для Y: p(yj) = сума по всьому стовпці.

• Незалежність: X і Y незалежні, якщо p(xi, yj) = p(xi)·p(yj) для ВСІХ клітинок. Якщо хоч одна рівність порушена — залежні.

• Математичне сподівання: M(X) = Σ xi·p(xi). Так само M(Y).

• Дисперсія: D(X) = M(X²) − (M(X))². Стандартне відхилення σ = √D.

• Коваріація: cov(X,Y) = M(XY) − M(X)·M(Y), де M(XY) = Σ xi·yj·p(xi,yj). Показує напрям звʼязку.

• Коефіцієнт кореляції: r = cov(X,Y) / (σX·σY). Завжди −1 ≤ r ≤ 1.

• r > 0 — прямий звʼязок, r < 0 — обернений, r = 0 — лінійного звʼязку немає. |r| ближче до 1 — звʼязок сильніший.

• Якщо X і Y незалежні, то cov = 0 і r = 0. Обернене НЕ завжди вірно.

• Кореляційна матриця — квадратна таблиця коефіцієнтів кореляції між усіма парами величин. На головній діагоналі завжди 1 (кореляція величини із собою). Матриця симетрична.

🔢 Як це працює на прикладі

Таблиця сумісного розподілу (X: 0,1; Y: 0,1):

p(0,0)=0,2; p(0,1)=0,3; p(1,0)=0,1; p(1,1)=0,4. Сума = 1 ✓

Маргінальні: p(X=0)=0,2+0,3=0,5; p(X=1)=0,5. p(Y=0)=0,3; p(Y=1)=0,7.

M(X)=0·0,5+1·0,5=0,5. M(Y)=0·0,3+1·0,7=0,7.

M(XY)=1·1·0,4=0,4 (ненульовий тільки доданок x=1,y=1).

cov=0,4 − 0,5·0,7 = 0,4 − 0,35 = 0,05 > 0 → прямий звʼязок.

Перевірка незалежності: p(0,0)=0,2, а p(X=0)·p(Y=0)=0,5·0,3=0,15 ≠ 0,2 → величини ЗАЛЕЖНІ.

🎯 Типові помилки

• Плутають сумісну ймовірність p(xi,yj) з маргінальною p(xi) — перша стоїть у клітинці, друга є сумою рядка/стовпця.

• Забувають перевірити, що сума всіх клітинок = 1, і беруть неузгоджену таблицю.

• Вважають: «cov=0 → величини незалежні». Насправді з незалежності випливає cov=0, але не навпаки.

• У формулі M(XY) множать на ймовірність маргінальну, а треба на сумісну p(xi,yj).

• Забувають, що на діагоналі кореляційної матриці завжди 1, а не дисперсія.

🎯 Що завчити напамʼять

• Сума всіх p(xi,yj) = 1.

• Маргінальний розподіл = сума рядка (стовпця).

• Незалежність: p(xi,yj)=p(xi)·p(yj).

• cov(X,Y)=M(XY)−M(X)·M(Y).

• r=cov/(σX·σY), −1≤r≤1.

• Діагональ кореляційної матриці = 1, матриця симетрична.

🧠 Перевір себе

1. Чому дорівнює сума всіх клітинок таблиці сумісного розподілу?

2. Як отримати маргінальний розподіл X?

3. Якщо cov(X,Y)=0, чи обовʼязково X і Y незалежні?

4. Що стоїть на головній діагоналі кореляційної матриці?

Відповіді: 1 — одиниці; 2 — підсумувати ймовірності по кожному рядку X; 3 — ні, незалежність дає cov=0, але не навпаки; 4 — одиниці (кореляція величини із собою).