Апроксимація даних; метод найменших квадратів; інтерполяція

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють, як за набором експериментальних точок побудувати функцію, що описує залежність між величинами. Ключові поняття: апроксимація (наближення), метод найменших квадратів (МНК) і інтерполяція. Це основа обробки даних у таблицях і програмах (Excel, Python).

📖 Головне

• Апроксимація — заміна набору точок простою функцією, яка проходить БЛИЗЬКО до них (не обовʼязково через кожну). Мета — виявити загальну тенденцію, згладити похибки вимірювань.

• Інтерполяція — побудова функції, яка проходить ТОЧНО через усі задані точки. Застосовують, коли дані вважаються точними й треба знайти значення між ними.

• Екстраполяція — обчислення значення за межами діапазону відомих точок (менш надійна).

• Метод найменших квадратів (МНК) — головний спосіб апроксимації. Шукаємо функцію, для якої сума квадратів відхилень Σ(yᵢ − f(xᵢ))² мінімальна.

• Лінійна апроксимація: f(x) = a·x + b (пряма, тренд). Коефіцієнти a і b підбирають так, щоб сума квадратів відстаней по вертикалі була найменшою.

• Чому квадрати? Щоб додатні й відʼємні відхилення не скорочувались, і щоб сильніше «штрафувати» великі похибки.

• Види ліній тренду: лінійна, квадратична (поліноміальна), степенева, експоненційна, логарифмічна. Вибирають за формою розсіювання точок.

• Коефіцієнт достовірності R² (від 0 до 1): чим ближче до 1, тим краще лінія описує дані.

• Лінійна інтерполяція між двома точками (x₁,y₁) і (x₂,y₂): y = y₁ + (y₂−y₁)·(x−x₁)/(x₂−x₁).

• В Excel: функції НАКЛОН (SLOPE), ОТРЕЗОК (INTERCEPT), ЛИНЕЙН (LINEST), ТЕНДЕНЦИЯ (TREND); або «Лінія тренду» на діаграмі з виводом рівняння і R².

📊 Як це працює на прикладі

Приклад (лінійна інтерполяція). Відомо: при x=2 y=10, при x=6 y=30. Знайти y при x=4.

y = 10 + (30−10)·(4−2)/(6−2) = 10 + 20·2/4 = 10 + 10 = 20.

Приклад (ідея МНК). Точки (1,2), (2,3), (3,5). Шукаємо пряму y=ax+b.

Для кожного a,b рахуємо суму S = Σ(yᵢ−(axᵢ+b))². Серед усіх прямих обираємо ту, де S найменша. У табличному процесорі це робить функція ЛИНЕЙН, видаючи a і b автоматично (тут a≈1.5, b≈0.33).

⚠️ Типові помилки

• Плутають апроксимацію та інтерполяцію: інтерполяція ТОЧНО через точки, апроксимація — наближено (тренд).

• Думають, що R²=1 завжди добре — для апроксимації це нереально; для інтерполяції природно, бо лінія проходить через точки.

• Неправильно підставляють у формулу лінійної інтерполяції (міняють місцями x₁ і x₂ або y).

• Застосовують екстраполяцію далеко за межі даних і довіряють результату.

• Забувають, що МНК мінімізує суму КВАДРАТІВ відхилень, а не самих відхилень чи їх модулів.

🎯 Що завчити напамʼять

• МНК мінімізує Σ(yᵢ − f(xᵢ))².

• Формула лінійної інтерполяції: y = y₁ + (y₂−y₁)·(x−x₁)/(x₂−x₁).

• Інтерполяція — через точки; апроксимація — близько до точок.

• R² ближче до 1 → краща модель.

• Excel-функції: НАКЛОН, ОТРЕЗОК, ЛИНЕЙН, ТЕНДЕНЦИЯ.

🧠 Перевір себе

1. Чим інтерполяція відрізняється від апроксимації?

2. Що мінімізує метод найменших квадратів?

3. При x=0 y=5, при x=10 y=25. Знайди y при x=4.

4. Що означає R²=0.98?

Відповіді: 1 — інтерполяція проходить точно через всі точки, апроксимація лише близько (виявляє тенденцію); 2 — суму квадратів відхилень Σ(yᵢ−f(xᵢ))²; 3 — y = 5 + (25−5)·4/10 = 5+8 = 13; 4 — модель дуже добре описує дані (майже ідеально, близько до 1).